Номер 2.74, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.74. Примените формулы сокращенного умножения и решите уравнение:

а) $(x - 2)^2 = 4x - 3;$

б) $(x + 3)^2 - 5 = 11x;$

в) $(x - 4)^2 = 8(x - 6);$

г) $(x - 5)^2 = 4(x + 3)^2$.

а) $(x-2)^2 = 4x-3$
Применяем формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 4x - 3$
$x^2 - 4x + 4 = 4x - 3$
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные:
$x^2 - 4x - 4x + 4 + 3 = 0$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = 7$
Ответ: $1; 7$.

б) $(x+3)^2 - 5 = 11x$
Применяем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 5 = 11x$
$x^2 + 6x + 9 - 5 = 11x$
$x^2 + 6x + 4 = 11x$
Переносим все слагаемые в левую часть:
$x^2 + 6x - 11x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4.
$x_1 = 1$
$x_2 = 4$
Ответ: $1; 4$.

в) $(x-4)^2 = 8(x-6)$
Раскрываем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 8x - 48$
$x^2 - 8x + 16 = 8x - 48$
Переносим все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 8x - 8x + 16 + 48 = 0$
$x^2 - 16x + 64 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x-8)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень:
$x - 8 = 0$
$x = 8$
Ответ: $8$.

г) $(x-5)^2 = 4(x+3)^2$
Заметим, что правую часть можно представить в виде квадрата: $4(x+3)^2 = (2(x+3))^2$.
$(x-5)^2 = (2(x+3))^2$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приводит к двум возможным случаям:
$x-5 = \pm 2(x+3)$
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) $x-5 = 2(x+3)$
$x-5 = 2x+6$
$x-2x = 6+5$
$-x = 11 \implies x_1 = -11$
2) $x-5 = -2(x+3)$
$x-5 = -2x-6$
$x+2x = -6+5$
$3x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-11; -\frac{1}{3}$.