Номер 2.67, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.67. Решите квадратное уравнение, используя алгоритм:

а) $5x^2 - 3x - 2 = 0;$

б) $2x^2 + 3x - 2 = 0;$

в) $3x^2 - 10x + 3 = 0;$

г) $2x^2 + x - 3 = 0;$

д) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

е) $2x^2 + 7x + 3 = 0;$

ж) $3x^2 + 2x - 5 = 0;$

з) $x^2 - 6x + 9 = 0.$

а) Для уравнения $5x^2 - 3x - 2 = 0$:

Коэффициенты: $a = 5$, $b = -3$, $c = -2$.

Вычисляем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{2}{5}$.

б) Для уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$:

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -2$.

в) Для уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$:

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -10$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

г) Для уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$:

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1\frac{1}{2}$.

д) Для уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$:

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = 1$.

е) Для уравнения $2x^2 + 7x + 3 = 0$:

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 7$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = -3$.

ж) Для уравнения $3x^2 + 2x - 5 = 0$:

Коэффициенты: $a = 3$, $b = 2$, $c = -5$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1\frac{2}{3}$.

з) Для уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$:

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Находим корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $x = 3$.