Номер 8, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

8. Из вершины развернутого угла $AOB$ в одну полуплоскость относительно прямой $AB$ проведены лучи $OC$ и $OD$, луч $OC$ проходит внутри угла $AOD$, $\angle COD = 70^\circ$. Найдите угол между биссектрисами углов $AOC$ и $BOD$.

а) $60^\circ$; б) $55^\circ$;
в) $110^\circ$; г) $125^\circ$.

По условию задачи, угол $AOB$ — развернутый, следовательно, его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle AOC$, $\angle COD$ и $\angle BOD$, расположенных в одной полуплоскости. Таким образом, мы можем записать:
$\angle AOB = \angle AOC + \angle COD + \angle BOD$
Подставим известные значения:
$180^\circ = \angle AOC + 70^\circ + \angle BOD$
Отсюда найдем сумму углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$:
$\angle AOC + \angle BOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Пусть $OK$ — биссектриса угла $\angle AOC$, а $OM$ — биссектриса угла $\angle BOD$. По определению биссектрисы:
$\angle KOC = \frac{1}{2}\angle AOC$
$\angle DOM = \frac{1}{2}\angle BOD$

Угол между биссектрисами $OK$ и $OM$ — это угол $\angle KOM$. Он складывается из трех углов: $\angle KOC$, $\angle COD$ и $\angle DOM$.
$\angle KOM = \angle KOC + \angle COD + \angle DOM$
Подставим выражения для углов $\angle KOC$ и $\angle DOM$:
$\angle KOM = \frac{1}{2}\angle AOC + \angle COD + \frac{1}{2}\angle BOD$
$\angle KOM = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOD) + \angle COD$
Мы уже нашли, что $\angle AOC + \angle BOD = 110^\circ$, а $\angle COD = 70^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\angle KOM = \frac{1}{2}(110^\circ) + 70^\circ$
$\angle KOM = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

г) Ответ: 125