Номер 9, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

9. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника $ABC$, у которого $\angle B = 30^\circ$, $AB = 36$ см, проведена высота $CH$. Найдите длину отрезка $HB$.

a) 27 см;

б) 24 см;

в) 18 см;

г) 30 см.

В заданном прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), гипотенуза $AB = 36$ см, а угол $\angle B = 30^\circ$. Высота $CH$ проведена из вершины прямого угла к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Катет $BC$ прилежит к углу $B$. Его длину можно найти через гипотенузу $AB$ и косинус угла $B$: $BC = AB \cdot \cos(\angle B) = 36 \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому: $BC = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CHB$. Поскольку $CH$ является высотой, опущенной на $AB$, угол $\angle CHB$ прямой ($\angle CHB = 90^\circ$). Следовательно, треугольник $CHB$ также является прямоугольным. В этом треугольнике сторона $BC$ является гипотенузой, а искомый отрезок $HB$ — катетом, прилежащим к углу $\angle B$.

Длину катета $HB$ можно найти через гипотенузу $BC$ и косинус угла $B$: $HB = BC \cdot \cos(\angle B) = 18\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$

Подставим значение косинуса и вычислим: $HB = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = \frac{54}{2}$ см.

а) 27 см; Ответ: 27

б) 24 см;

в) 18 см;

г) 30 см.