Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. Решите следующие задачи:

а) Найдите $\angle D$ четырехугольника $ABCD$ (рис. 7, а).

б) Найдите $\angle C$ пятиугольника $ABCDE$ (рис. 7, б).

Рис. 7

в) Найдите сумму $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$, если у шестиугольника $ABCDEF$ все внутренние углы равны между собой (рис. 7, в).

а) Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. В четырехугольнике $ABCD$ нам известны три угла: $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 90^\circ$ (так как он прямой, что обозначено квадратом), и $\angle C = 85^\circ$. Чтобы найти четвертый угол $\angle D$, нужно вычесть сумму известных углов из $360^\circ$.
Сумма известных углов: $\angle A + \angle B + \angle C = 75^\circ + 90^\circ + 85^\circ = 250^\circ$.
Теперь найдем угол $\angle D$:
$\angle D = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$.
Ответ: $110^\circ$.

б) Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника можно найти по формуле $(n-2) \times 180^\circ$, где $n$ – количество сторон (и углов) многоугольника. Для пятиугольника $ABCDE$, $n=5$.
Сумма углов пятиугольника равна $(5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.
Нам известны четыре угла: $\angle A = 97^\circ$, $\angle B = 88^\circ$, $\angle D = 103^\circ$, и $\angle E = 112^\circ$. Найдем их сумму:
$97^\circ + 88^\circ + 103^\circ + 112^\circ = 400^\circ$.
Чтобы найти неизвестный угол $\angle C$, вычтем эту сумму из общей суммы углов пятиугольника:
$\angle C = 540^\circ - 400^\circ = 140^\circ$.
Ответ: $140^\circ$.

в) Сначала найдем величину каждого внутреннего угла шестиугольника $ABCDEF$. По условию, все его внутренние углы равны между собой. Такой шестиугольник является правильным. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника ($n=6$) вычисляется по формуле $(n-2) \times 180^\circ$.
Сумма углов = $(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.
Поскольку все шесть углов равны, то каждый внутренний угол равен:
$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.
Углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ являются внешними углами шестиугольника. Каждый внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.
Найдем величину каждого из этих внешних углов:
$\angle 1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\angle 2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем их сумму:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$.