Номер 6, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

6. Найдите углы четырехугольника MNPK, если известно, что $\angle M : \angle N : \angle P : \angle K = 2 : 7 : 3 : 8$. Используя транспортир, изобразите такой четырехугольник.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Согласно условию, углы четырехугольника MNPK относятся как $2:7:3:8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры углов будут равны:

• $\angle M = 2x$
• $\angle N = 7x$
• $\angle P = 3x$
• $\angle K = 8x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма всех углов равна $360^\circ$:

$2x + 7x + 3x + 8x = 360^\circ$

Решим это уравнение:

$(2+7+3+8)x = 360^\circ$

$20x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{20}$

$x = 18^\circ$

Теперь, зная значение $x$, найдем величину каждого угла четырехугольника MNPK.

$\angle M$: $2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$. Ответ: 36.

$\angle N$: $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$. Ответ: 126.

$\angle P$: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$. Ответ: 54.

$\angle K$: $8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$. Ответ: 144.

Проверим, равна ли сумма найденных углов $360^\circ$:

$36^\circ + 126^\circ + 54^\circ + 144^\circ = 162^\circ + 198^\circ = 360^\circ$.

Построение четырехугольника с помощью транспортира:

Чтобы изобразить такой четырехугольник, необходимо последовательно построить его стороны и углы:

1. Начертите отрезок MN произвольной длины. Это будет первая сторона четырехугольника.
2. Приложите транспортир к точке M так, чтобы его основание совпало с отрезком MN. Отложите угол, равный $36^\circ$ ($\angle M$), и проведите луч из точки M.
3. Приложите транспортир к точке N так, чтобы его основание совпало с отрезком MN. Отложите угол, равный $126^\circ$ ($\angle N$), и проведите луч из точки N (в ту же полуплоскость относительно MN, что и первый луч).
4. На луче, проведенном из точки N, выберите произвольную точку P. Отрезок NP будет второй стороной четырехугольника.
5. Приложите транспортир к точке P. Отложите угол, равный $54^\circ$ ($\angle P$), и проведите луч так, чтобы он был направлен внутрь фигуры и пересек луч, построенный из точки M.
6. Точка пересечения лучей, проведенных из точек M и P, будет являться вершиной K.
7. Для проверки можно измерить получившийся угол K. При точном построении он должен быть равен $144^\circ$.