Номер 11, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

11. Дан невыпуклый четырехугольник (рис. 9). Докажите, что $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$.

Рис. 9

Для доказательства равенства $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ выполним дополнительное построение и применим теорему о сумме углов треугольника.

1. Обозначения и построение

Обозначим вершины четырехугольника буквами $A, B, C, D$. Пусть вершине с углом $\angle 1$ соответствует точка $A$, вершине с углом $\angle 2$ — точка $B$, вершине с углом $\angle 3$ — точка $C$, а вершине с вогнутым углом $\angle 4$ — точка $D$.

Проведем отрезок $BD$, который соединяет вершину с углом $\angle 2$ и вершину с углом $\angle 4$. Этот отрезок разделит невыпуклый четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

При этом:

• Угол при вершине $B$, равный $\angle 2$, разделится на два угла: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Таким образом, $\angle 2 = \angle ABD + \angle CBD$.
• Внутренний (не вогнутый) угол четырехугольника при вершине $D$ разделится на два угла: $\angle ADB$ и $\angle CDB$. Обозначим весь внутренний угол как $\angle ADC_{вн}$. Тогда $\angle ADC_{вн} = \angle ADB + \angle CDB$.

Вогнутый угол $\angle 4$ и внутренний угол $\angle ADC_{вн}$ в сумме составляют полный угол, то есть $360^\circ$. Отсюда $\angle ADC_{вн} = 360^\circ - \angle 4$.

2. Применение теоремы о сумме углов треугольника

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Применим эту теорему к двум полученным треугольникам.

• Для $\triangle ABD$:
  $\angle 1 + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$
• Для $\triangle CBD$:
  $\angle 3 + \angle CBD + \angle CDB = 180^\circ$

3. Доказательство

Сложим левые и правые части полученных уравнений:

$(\angle 1 + \angle ABD + \angle ADB) + (\angle 3 + \angle CBD + \angle CDB) = 180^\circ + 180^\circ$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$\angle 1 + \angle 3 + (\angle ABD + \angle CBD) + (\angle ADB + \angle CDB) = 360^\circ$

Теперь заменим суммы углов на их эквиваленты из шага 1:

$\angle ABD + \angle CBD = \angle 2$

$\angle ADB + \angle CDB = \angle ADC_{вн} = 360^\circ - \angle 4$

Подставим эти выражения в сгруппированное уравнение:

$\angle 1 + \angle 3 + \angle 2 + (360^\circ - \angle 4) = 360^\circ$

Перенесем $360^\circ$ из левой части в правую и выразим $\angle 4$:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 - \angle 4 = 360^\circ - 360^\circ$

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 - \angle 4 = 0$

$\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Утверждение $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ доказано.