Номер 14, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

14. В точках $A$, $B$, $C$ и $D$ расположены магазины (рис. 10). Найдите положение точки $M$, в которой следует разместить склад, чтобы сумма расстояний от склада до магазинов была наименьшей.

Рис. 10

Для нахождения оптимального положения склада $M$ необходимо минимизировать суммарное расстояние до всех четырех магазинов $A, B, C, D$. Математически это означает найти точку $M$, для которой сумма $S = MA + MB + MC + MD$ является наименьшей.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством неравенства треугольника. Сгруппируем слагаемые в сумме попарно: $S = (MA + MC) + (MB + MD)$.

Рассмотрим первую пару $(MA + MC)$. Согласно неравенству треугольника, для любых трех точек $A, C, M$ сумма расстояний $MA + MC$ будет наименьшей, когда точка $M$ лежит на отрезке, соединяющем точки $A$ и $C$. В этом случае $MA + MC = AC$. Если точка $M$ не лежит на отрезке $AC$, то $MA + MC > AC$.

Аналогично, для второй пары $(MB + MD)$ сумма расстояний $MB + MD$ будет наименьшей, когда точка $M$ лежит на отрезке, соединяющем точки $B$ и $D$. В этом случае $MB + MD = BD$. Если точка $M$ не лежит на отрезке $BD$, то $MB + MD > BD$.

Чтобы минимизировать общую сумму $S$, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Это значит, что точка $M$ должна лежать как на отрезке $AC$, так и на отрезке $BD$. Единственная точка, удовлетворяющая обоим условиям, — это точка пересечения этих двух отрезков. Из рисунка видно, что точки $A, B, C, D$ образуют выпуклый четырехугольник, а значит, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются.

Таким образом, минимальное значение суммы расстояний равно $S_{min} = AC + BD$, и достигается оно в точке пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$.

Положение точки М: Чтобы сумма расстояний от склада до магазинов была наименьшей, склад следует разместить в точке $M$, которая является точкой пересечения отрезков, соединяющих магазины $A$ с $C$ и $B$ с $D$. Ответ: Точка $M$ является точкой пересечения отрезков $AC$ и $BD$.