Гимнастика ума, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Параллелограмм $ABCD$ разрезали по ломаной линии, соединяющей вершины $B$ и $D$ (рис. 19). Определите, периметр какой части параллелограмма больше: желтой или красной.

Рис. 19

Для решения этой задачи необходимо сравнить периметры двух получившихся фигур: красной и желтой. Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон.

Обозначим ломаную линию, соединяющую вершины B и D, как $L_{BD}$. Эта линия является общей границей для обеих фигур.

Периметр красной части ($P_{красной}$) складывается из длин сторон параллелограмма AB, AD и длины ломаной линии $L_{BD}$.
Формула для периметра красной части: $P_{красной} = |AB| + |AD| + L_{BD}$

Периметр желтой части ($P_{желтой}$) складывается из длин сторон параллелограмма BC, CD и длины той же самой ломаной линии $L_{BD}$.
Формула для периметра желтой части: $P_{желтой} = |BC| + |CD| + L_{BD}$

Чтобы сравнить периметры, нужно сравнить эти два выражения. Так как слагаемое $L_{BD}$ одинаково в обеих формулах, нам достаточно сравнить суммы длин остальных сторон: $(|AB| + |AD|)$ и $(|BC| + |CD|)$.

Согласно основному свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Для параллелограмма ABCD это означает, что:
$|AB| = |CD|$
$|AD| = |BC|$

Подставим эти равенства в выражение для суммы сторон желтой части:
$|BC| + |CD| = |AD| + |AB|$

Как мы видим, сумма длин сторон $(|AB| + |AD|)$ для красной части равна сумме длин сторон $(|BC| + |CD|)$ для желтой части. Поскольку общая граница $L_{BD}$ у них также одинакова, их периметры равны.
$P_{красной} = |AB| + |AD| + L_{BD}$
$P_{желтой} = |BC| + |CD| + L_{BD} = |AD| + |AB| + L_{BD}$
Следовательно, $P_{красной} = P_{желтой}$.

Ответ: Периметры желтой и красной частей равны.