Номер 23, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

23. В параллелограмме ABCD проведена высота CK, $\angle A = 120^\circ$, $BC = 11$ см, $AK = 7$ см (рис. 24). Найдите периметр параллелограмма.

Рис. 24

Для нахождения периметра параллелограмма $ABCD$ необходимо найти длины его смежных сторон $AD$ и $CD$.

Сначала найдем длину стороны $AD$. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, сторона $AD$ равна стороне $BC$.
$AD = BC = 11$ см.

Далее найдем величину угла $D$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Зная, что $\angle A = 120^\circ$, получаем:
$\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Высота $CK$ опущена из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Поскольку $\angle A = 120^\circ$ (тупой угол), основание высоты, точка $K$, будет находиться на продолжении стороны $AD$ за вершиной $A$. Это означает, что точка $A$ лежит между точками $K$ и $D$, и длина отрезка $KD$ является суммой длин отрезков $AK$ и $AD$.
$KD = AK + AD = 7 \text{ см} + 11 \text{ см} = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Так как $CK$ — высота, то $\angle CKD = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $KD = 18$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle D = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $CD$, которая является второй стороной параллелограмма.

Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\cos(\angle D) = \frac{KD}{CD}$
Подставим известные значения. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:
$\frac{1}{2} = \frac{18}{CD}$
Из этого уравнения находим длину стороны $CD$:
$CD = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Теперь, зная длины двух смежных сторон параллелограмма ($AD = 11$ см и $CD = 36$ см), мы можем вычислить его периметр ($P$). Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.
$P = 2 \cdot (AD + CD) = 2 \cdot (11 + 36) = 2 \cdot 47 = 94$ см.

Найдите периметр параллелограмма. Ответ: 94