Номер 22, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

22. В параллелограмме $ABCD$ $AN = 16$ см, $BP = 7$ см, $KD = 6$ см, $AM = 18$ см (рис. 23). Найдите периметр параллелограмма.

Рис. 23

Нахождение длины стороны AB
В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, следовательно, $BO = DO$. Рассмотрим треугольники $\triangle BON$ и $\triangle DOK$:
1. $BO = DO$ по свойству диагоналей параллелограмма.
2. $\angle NBO = \angle KDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.
3. $\angle BON = \angle DOK$ как вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle BON \cong \triangle DOK$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BN = DK$. По условию задачи $DK = 6$ см, значит и $BN = 6$ см. Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $BN$: $AB = AN + BN = 16 + 6 = 22$ см.
Ответ: 22.

Нахождение длины стороны AD
Рассмотрим треугольники $\triangle BOP$ и $\triangle DOM$:
1. $BO = DO$ по свойству диагоналей параллелограмма.
2. $\angle PBO = \angle MDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
3. $\angle BOP = \angle DOM$ как вертикальные углы.
Следовательно, $\triangle BOP \cong \triangle DOM$ по второму признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что $DM = BP$. По условию задачи $BP = 7$ см, значит и $DM = 7$ см. Длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $DM$: $AD = AM + DM = 18 + 7 = 25$ см.
Ответ: 25.

Нахождение периметра параллелограмма
Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле $P = 2 \times (AB + AD)$. Подставим найденные длины сторон: $P = 2 \times (22 + 25) = 2 \times 47 = 94$ см.
Ответ: 94.