Номер 18, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

18. По данным на рисунках 21, а)—г) докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

а) $\angle DAC = \angle BCA$
$\angle BAC = \angle DCA$

б) $AO = OC$
$BO = OD$

в) $\angle DAB = \angle CDA$
$\angle ABC = \angle BCD$

г) $\angle ABD = \angle BDC$
$\angle ADB = \angle CBD$

Рис. 21

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, мы воспользуемся признаками параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

а) Ответ:

На рисунке а) отмечены две пары равных углов, которые образованы при пересечении сторон четырехугольника диагональю $AC$.
1. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ (отмечены двумя дугами) являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как по условию $\angle BCA = \angle CAD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).
2. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ (отмечены одной дугой) являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$. Так как по условию $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).
Поскольку у четырехугольника $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.

б) Ответ:

На рисунке б) отмечены две пары равных углов, которые образованы при пересечении сторон четырехугольника диагоналями.
1. Углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ (отмечены двумя дугами) являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$. Так как по условию $\angle CBD = \angle ADB$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).
2. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ (отмечены одной дугой) являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$. Так как по условию $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).
Поскольку у четырехугольника $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.

в) Ответ:

На рисунке в) даны равенства углов.
1. Противоположные углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ равны: $\angle DAB = \angle BCD$.
2. Внутренний угол при вершине $D$ равен внешнему углу при вершине $B$. Внутренний угол $\angle ABC$ и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^\circ$. Из условия следует, что $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.
Итак, в четырехугольнике $ABCD$ одна пара противоположных углов ($\angle A$ и $\angle C$) равна, а другая пара ($\angle B$ и $\angle D$) в сумме дает $180^\circ$.
Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$: $\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$.
Подставим известные соотношения: $(\angle DAB + \angle BCD) + (\angle ABC + \angle ADC) = 360^\circ$.
$(2 \cdot \angle DAB) + 180^\circ = 360^\circ$.
Отсюда $2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$, что означает $\angle DAB = 90^\circ$. Следовательно, и $\angle BCD = 90^\circ$.
Четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна $180^\circ$ ($\angle B + \angle D = 180^\circ$), является вписанным в окружность. В то же время другая пара противоположных углов ($\angle A$ и $\angle C$) также должна в сумме давать $180^\circ$. Так как они равны, они оба по $90^\circ$.
Параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Так как все углы прямые, то противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

г) Ответ:

На рисунке г) рассмотрим два треугольника $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$, образованных диагональю $BD$.
1. По условию $\angle DAB = \angle BCD$ (углы отмечены двумя дугами).
2. По условию $\angle ABD = \angle CDB$ (углы отмечены одной дугой).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам — в данном случае по стороне и двум углам, один из которых противолежащий стороне: признак AAS).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CD$ и $AD = BC$.
Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.