Номер 17, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

17. Перенесите рисунок 20 в тетрадь. Постройте параллелограмм $ABCD$. Чему равна длина стороны $BC$? Чем является отрезок $BH$ для параллелограмма $ABCD$? Проведите высоту $CM$ к стороне $AD$. Почему из равенства треугольников $ABH$ и $DCM$ следует, что $AB \parallel CD$?

Рис. 20

Для решения задачи примем, что одна клетка на рисунке соответствует единице длины. Разместим начало координат в точке A. Тогда координаты точек будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $H(2, 0)$
• $B(2, 4)$
• $D(7, 0)$

Постройте параллелограмм ABCD.

Чтобы построить параллелограмм $ABCD$, нам необходимо найти координаты четвертой вершины $C(x, y)$. В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, что в векторной форме означает равенство векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (D_x - A_x, D_y - A_y) = (7 - 0, 0 - 0) = (7, 0)$

2. Выразим координаты вектора $\vec{BC}$ через неизвестные координаты точки $C(x, y)$:

$\vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (x - 2, y - 4)$

3. Приравняем векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$(x - 2, y - 4) = (7, 0)$

Отсюда получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2 = 7 \\ y - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 9 \\ y = 4 \end{cases}$

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(9, 4)$. Соединив точки $A, B, C, D$ последовательно, мы получаем параллелограмм $ABCD$.

Чему равна длина стороны BC? Ответ: Длина стороны $BC$ в параллелограмме $ABCD$ равна длине противолежащей стороны $AD$. Длина отрезка $AD$ вычисляется как расстояние между точками $A(0,0)$ и $D(7,0)$: $AD = \sqrt{(7-0)^2 + (0-0)^2} = 7$. Следовательно, длина стороны $BC$ также равна 7.

Чем является отрезок BH для параллелограмма ABCD? Ответ: Отрезок $BH$ проведен из вершины $B$ параллелограмма и перпендикулярен стороне $AD$ (так как $BH$ - вертикальный отрезок, а $AD$ - горизонтальный). Отрезок, проведенный из вершины фигуры перпендикулярно к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой. Таким образом, $BH$ является высотой параллелограмма $ABCD$, опущенной на сторону $AD$.

Проведите высоту CM к стороне AD.

Высота $CM$ должна быть проведена из вершины $C$ перпендикулярно к прямой, содержащей сторону $AD$. Так как сторона $AD$ лежит на оси $x$ (горизонтальная линия $y=0$), высота $CM$ должна быть вертикальным отрезком, проходящим через точку $C(9,4)$. Точка $M$ будет иметь ту же координату $x$, что и точка $C$, и ту же координату $y$, что и точки на прямой $AD$. Следовательно, координаты точки $M$ равны $(9, 0)$.

Почему из равенства треугольников ABH и DCM следует, что AB || CD? Ответ: Если треугольники $ABH$ и $DCM$ равны ($\triangle ABH \cong \triangle DCM$), то их соответствующие углы также равны. Рассмотрим углы, которые стороны $AB$ и $CD$ образуют с прямой $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ это угол $\angle BAH$. В прямоугольном треугольнике $DCM$ это угол $\angle CDM$.

Из равенства треугольников следует, что $\angle BAH = \angle CDM$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BAH$ и $\angle CDM$ являются углами, которые эти прямые образуют с секущей $AD$. Поскольку эти углы равны, это означает, что прямые $AB$ и $CD$ имеют одинаковый наклон по отношению к прямой $AD$. Согласно признаку параллельности прямых, если две прямые образуют с секущей равные соответственные углы, то эти прямые параллельны. В данном случае, углы $\angle BAH$ и $\angle CDM$ выступают в роли соответственных углов (если мы рассмотрим параллельный перенос системы координат из точки А в точку D), и их равенство доказывает, что $AB \parallel CD$.