Номер 24, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

24. а) Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 36 см, периметр треугольника $ABC$ равен 28 см, $\angle ACB = 30^\circ$. Найдите:

1) отрезок $AC$;

2) высоту $CK$, опущенную на сторону $AD$.

б) Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ перпендикулярна стороне $AB$, $P_{ABCD} = 30$ см, $\angle ADC = 120^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

а)

1) отрезок AC;

Периметр параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$. По условию, $P_{ABCD} = 36$ см. Следовательно, $2(AB + BC) = 36$, откуда получаем сумму смежных сторон: $AB + BC = 18$ см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию, $P_{ABC} = 28$ см.

Подставим известное значение суммы $AB + BC$ в формулу периметра треугольника: $18 + AC = 28$.

Отсюда находим длину диагонали $AC$: $AC = 28 - 18 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

2) высоту CK, опущенную на сторону AD.

Высота $CK$, опущенная на сторону $AD$, по определению является перпендикуляром, проведенным из точки $C$ к прямой, содержащей сторону $AD$. Поскольку в параллелограмме стороны $AD$ и $BC$ параллельны, высота $CK$ равна расстоянию между этими прямыми.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Длина этой высоты также равна расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Таким образом, $CK = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle AHC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$, длина которой, как мы нашли, равна 10 см. По условию, $\angle ACB = 30^\circ$. Катет $AH$ лежит напротив этого угла.

Длина катета, лежащего против угла в $30^\circ$, равна половине гипотенузы. Или, используя определение синуса: $AH = AC \cdot \sin(\angle ACB) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Так как $CK = AH$, то высота $CK$ равна 5 см.

Ответ: 5 см.

б)

В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. По условию, $\angle ADC = 120^\circ$. Следовательно, угол $\angle DAB$ равен: $\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

По условию, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, что означает $\angle ABD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABD$ является прямоугольным.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle ADB$: $\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABD = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle ABD$ катет $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $AD$. Следовательно, $AB = \frac{1}{2} AD$.

Периметр параллелограмма задан по условию: $P_{ABCD} = 30$ см. Формула периметра: $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$. Из этого следует: $2(AB + AD) = 30$, или $AB + AD = 15$ см.

Мы получили систему из двух уравнений: $AB = \frac{1}{2} AD$ и $AB + AD = 15$. Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе: $\frac{1}{2} AD + AD = 15$ $\frac{3}{2} AD = 15$ $AD = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$: $AB = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 5 см и 10 см.

Ответ: 5 см, 10 см.