Номер 30, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

30. $ABCD$ — параллелограмм, $\angle A$ — острый, $AH$ и $AK$ — высоты, проведенные к сторонам $BC$ и $CD$ соответственно. Докажите, что $\angle HAK = \angle B$. Найдите $\angle B$, если $\angle HAK : \angle C = 3 : 2$.

Докажите, что $\angle HAK = \angle B$

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, а $AH$ и $AK$ — высоты, проведенные к сторонам $BC$ и $CD$ соответственно.

Из определения высоты следует, что $AH \perp BC$ и $AK \perp CD$. Это означает, что треугольники $AHC$ и $AKC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершинах $H$ и $K$ соответственно, то есть $\angle AHC = 90^\circ$ и $\angle AKC = 90^\circ$.

Рассмотрим четыре точки: $A, K, C, H$. Поскольку углы $\angle AHC$ и $\angle AKC$ оба равны $90^\circ$ и опираются на один и тот же отрезок $AC$, это означает, что все четыре точки $A, K, C, H$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $AC$.

Следовательно, четырехугольник $AKCH$ является вписанным в окружность. Для любого вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для четырехугольника $AKCH$ справедливо равенство: $\angle HAK + \angle KCH = 180^\circ$.

Угол $\angle KCH$ образован прямыми $CK$ (совпадающей с прямой $CD$) и $CH$ (совпадающей с прямой $BC$). Следовательно, величина этого угла равна величине угла $\angle BCD$ параллелограмма, то есть $\angle KCH = \angle C$.

Подставляя $\angle C$ вместо $\angle KCH$ в равенство для вписанного четырехугольника, получаем: $\angle HAK + \angle C = 180^\circ$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, также равна $180^\circ$. В частности, для углов $B$ и $C$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

Сравнивая два полученных равенства, мы видим, что $\angle HAK = \angle B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle HAK = \angle B$ доказано.

Найдите $\angle B$, если $\angle HAK : \angle C = 3 : 2$

Из условия нам дано соотношение $\angle HAK : \angle C = 3 : 2$. Это можно записать в виде уравнения: $\frac{\angle HAK}{\angle C} = \frac{3}{2}$.

В первой части задачи мы доказали, что $\angle HAK = \angle B$. Подставим это в наше соотношение: $\frac{\angle B}{\angle C} = \frac{3}{2}$.

Отсюда выразим $\angle B$ через $\angle C$: $\angle B = \frac{3}{2} \angle C$.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$, поэтому: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $\angle B$ во второе уравнение: $\frac{3}{2} \angle C + \angle C = 180^\circ$.

Решим это уравнение относительно $\angle C$: $\frac{5}{2} \angle C = 180^\circ$ $\angle C = 180^\circ \cdot \frac{2}{5}$ $\angle C = 36^\circ \cdot 2 = 72^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.