Тест 2, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Верно ли утверждение: «Если у четырехугольника две противоположные стороны равны, а две другие параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм»? Если ваш ответ «нет», то приведите контрпример (пример, опровергающий это утверждение).

Нет, данное утверждение неверно.

Утверждение гласит, что если у четырехугольника одна пара противоположных сторон равна, а другая пара противоположных сторон параллельна, то это параллелограмм. Это утверждение является ложным, так как оно не соответствует ни одному из признаков параллелограмма. Один из верных признаков параллелограмма формулируется так: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм». В данном же утверждении равенство и параллельность относятся к разным парам сторон.

Чтобы опровергнуть это утверждение, необходимо привести контрпример — четырехугольник, который удовлетворяет заданным условиям, но не является параллелограммом.

В качестве такого контрпримера можно рассмотреть равнобедренную (равнобокую) трапецию.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, у которой основаниями являются стороны $AD$ и $BC$.

1. По определению трапеции, её основания параллельны. Значит, выполняется одно из условий задачи: $AD \parallel BC$.
2. По свойству равнобедренной трапеции, её боковые стороны равны. Значит, выполняется и второе условие задачи: $AB = CD$.

Таким образом, равнобедренная трапеция $ABCD$ является четырехугольником, у которого две противоположные стороны ($AD$ и $BC$) параллельны, а две другие противоположные стороны ($AB$ и $CD$) равны.

Однако равнобедренная трапеция (если она не является прямоугольником) не является параллелограммом, так как ее боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Следовательно, исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Контрпримером является равнобедренная трапеция.