Номер 29, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

29. Точка $M$ – середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$, $\angle ABC = 104^\circ$, $\angle BAM = 38^\circ$. Найдите величину угла $CDM$.

Найдите величину угла CDM.
Для решения задачи выполним следующие шаги:
1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Угол $∠ABM$ совпадает с углом параллелограмма $∠ABC$ и равен $104°$. Угол $∠BAM$ по условию равен $38°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому можем найти третий угол $∠AMB$:
$∠AMB = 180° - (∠ABM + ∠BAM) = 180° - (104° + 38°) = 180° - 142° = 38°$.
2. В треугольнике $ABM$ два угла оказались равны: $∠BAM = ∠AMB = 38°$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Таким образом, $AB = BM$.
3. Воспользуемся свойствами параллелограмма $ABCD$. Его противоположные стороны равны, следовательно, $AB = CD$. По условию, точка $M$ — середина стороны $BC$, значит, $BM = MC$. Объединяя эти равенства ($AB = BM$, $AB = CD$ и $BM = MC$), получаем, что $CD = MC$.
4. Так как в треугольнике $CDM$ стороны $CD$ и $MC$ равны, он является равнобедренным с основанием $DM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠CDM = ∠CMD$.
5. Найдем угол $∠BCD$ параллелограмма, который является углом при вершине в треугольнике $CDM$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, составляет $180°$. Следовательно:
$∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 104° = 76°$.
6. Зная угол при вершине $C$ равнобедренного треугольника $CDM$, мы можем найти углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180°$:
$∠CDM + ∠CMD + ∠MCD = 180°$
$2 \cdot ∠CDM + 76° = 180°$
$2 \cdot ∠CDM = 180° - 76°$
$2 \cdot ∠CDM = 104°$
$∠CDM = \frac{104°}{2} = 52°$.
Ответ: 52.