Номер 27, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

27. Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, которая принадлежит стороне $AD$. Найдите периметр параллелограмма, если $KD = 8$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, биссектрисы углов $B$ и $C$ ($BK$ и $CK$ соответственно) пересекаются в точке $K$, которая лежит на стороне $AD$. Дано, что $KD = 8$ см.

1. Сначала рассмотрим треугольник $CDK$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$. Прямая $CK$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BCK$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BCK = \angle CKD$.

2. Так как $CK$ — это биссектриса угла $C$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BCK = \angle KCD$.

3. Сопоставляя два предыдущих равенства, получаем: $\angle KCD = \angle CKD$. Это означает, что треугольник $CDK$ является равнобедренным с основанием $CK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $CD = KD$.

Найти сторону CD:
По условию задачи дано, что $KD = 8$ см. Так как мы доказали, что $CD = KD$, то длина стороны $CD$ также равна 8 см.
Ответ: 8

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Аналогично, $BC \parallel AD$, а $BK$ — секущая. Накрест лежащие углы $\angle CBK$ и $\angle AKB$ равны. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABK = \angle CBK$. Отсюда следует, что $\angle ABK = \angle AKB$. Таким образом, треугольник $ABK$ также является равнобедренным с основанием $BK$, и его боковые стороны $AB$ и $AK$ равны: $AB = AK$.

5. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $AB = CD$. Поскольку $CD = 8$ см, то и $AB = 8$ см. Из равнобедренного треугольника $ABK$ следует, что $AK = AB$, поэтому $AK = 8$ см.

Найти сторону AD:
Точка $K$ лежит на стороне $AD$, поэтому длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$.
$AD = AK + KD = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 16$ см.
Ответ: 16

6. Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма длин его смежных сторон.

Найти периметр параллелограмма:
Смежные стороны параллелограмма — это $AB$ и $AD$. Мы нашли их длины: $AB = 8$ см и $AD = 16$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:
$P = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (8 + 16) = 2 \times 24 = 48$ см.
Ответ: 48