Номер 31, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

31. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$, $KE \parallel AC$, $EH \parallel BC$ (рис. 26). Докажите, что $EK = AE$. По данным на рисунке найдите длины отрезков $HC$ и $AH$.

Рис. 26

Докажите, что EK = AE:

По условию задачи, AK является биссектрисой угла A. Это означает, что она делит угол BAC на два равных угла: $∠EAK = ∠CAK$.

Также по условию, прямая KE параллельна прямой AC ($KE \parallel AC$). При пересечении этих параллельных прямых секущей AK образуются равные накрест лежащие углы: $∠EKA = ∠CAK$.

Так как $∠EAK = ∠CAK$ и $∠EKA = ∠CAK$, то мы можем заключить, что $∠EAK = ∠EKA$.

Рассмотрим треугольник AKE. Поскольку два его угла ($∠EAK$ и $∠EKA$) равны, треугольник AKE является равнобедренным с основанием AK. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $EK = AE$.

Найдите длину отрезка HC:

Из условия $KE \parallel AC$ следует, что треугольник BKE подобен треугольнику BAC ($△BKE \sim △BAC$) по двум углам (угол B — общий, а $∠BKE = ∠BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых KE и AC и секущей BC).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{BE}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{KE}{AC}$

Используя данные с рисунка, найдем длины сторон BA и BC:

$BA = BE + AE = 2 + 4 = 6$

$BC = BK + KC = 3 + 6 = 9$

В предыдущем пункте мы доказали, что $EK = AE$. Поскольку $AE = 4$, то и $EK = 4$.

Теперь мы можем найти длину стороны AC из пропорции:

$\frac{KE}{AC} = \frac{BE}{BA} \implies \frac{4}{AC} = \frac{2}{6}$

$\frac{4}{AC} = \frac{1}{3} \implies AC = 4 \times 3 = 12$

Далее, по условию $EH \parallel BC$. По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), примененной к углу BAC и параллельным прямым EH и BC, имеем:

$\frac{AE}{EB} = \frac{AH}{HC}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{2} = \frac{AH}{HC} \implies 2 = \frac{AH}{HC} \implies AH = 2 \times HC$

Сторона AC состоит из отрезков AH и HC, то есть $AC = AH + HC$. Подставим в это равенство $AC = 12$ и $AH = 2 \times HC$:

$12 = (2 \times HC) + HC$

$12 = 3 \times HC$

$HC = \frac{12}{3} = 4$

Ответ: 4

Найдите длину отрезка AH:

Для нахождения длины отрезка AH воспользуемся соотношением, полученным в предыдущем пункте: $AH = 2 \times HC$.

Подставим найденное значение $HC = 4$:

$AH = 2 \times 4 = 8$

Ответ: 8