Номер 32, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

32. Составьте алгоритм построения с помощью циркуля и линейки параллелограмма:

а) по двум соседним сторонам и углу между ними;

б) по двум соседним сторонам и высоте, проведенной к одной из сторон.

Рис. 26

а) по двум соседним сторонам и углу между ними; Ответ:

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$, и угол $\alpha$. Необходимо построить параллелограмм $ABCD$, у которого стороны $AB = a$, $AD = b$, и угол между ними $\angle DAB = \alpha$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.
3. От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AM$ так, чтобы $\angle MAB = \alpha$.
4. На луче $AM$ от точки $A$ отложим с помощью циркуля отрезок $AD$, равный данному отрезку $b$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$ построим две дуги окружностей:
   • первую с центром в точке $D$ и радиусом, равным $a$;
   • вторую с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Точка пересечения этих дуг будет искомой вершиной $C$.
7. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм. В нем, по построению, $AB = DC = a$ и $AD = BC = b$. Так как у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, он является параллелограммом.

б) по двум соседним сторонам и высоте, проведенной к одной из сторон. Ответ:

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$, и отрезок высоты $h$, проведенной к стороне $a$. Необходимо построить параллелограмм $ABCD$, у которого сторона $AB = a$, соседняя сторона $AD = b$, а высота, опущенная из вершины $D$ на прямую $AB$, равна $h$. Построение возможно только при условии $b \ge h$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.
3. Построим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого:
   • Восставим в любой точке прямой $l$ (например, в точке $A$) перпендикуляр к ней.
   • Отложим на этом перпендикуляре отрезок, равный высоте $h$.
   • Через конец этого отрезка проведем прямую $m$, параллельную прямой $l$.
4. Вершины $D$ и $C$ параллелограмма будут лежать на прямой $m$.
5. Найдем положение вершины $D$. Для этого проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным стороне $b$.
6. Точка пересечения этой дуги с прямой $m$ будет вершиной $D$. Если дуга и прямая не пересекаются ($b < h$), то построение невозможно. Если касаются ($b=h$), то будет одна точка. Если пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них.
7. Для нахождения четвертой вершины $C$ отложим на прямой $m$ от точки $D$ отрезок $DC$, равный стороне $a$, в том же направлении, что и отрезок $AB$. Это можно сделать, проведя окружность с центром в $D$ и радиусом $a$, и выбрав нужную точку пересечения с прямой $m$.
8. Соединим отрезками точки $A$ с $D$, $D$ с $C$ и $B$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм. По построению, его стороны $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых $l$ и $m$, и их длины равны $a$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Также, по построению, сторона $AD$ равна $b$, а высота, проведенная к стороне $AB$, равна расстоянию между прямыми $l$ и $m$, то есть $h$.