Номер 28, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

28. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC = 12$ см (рис. 25). Найдите периметр параллелограмма MBNK.

Рис. 25

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 12$ см. Четырехугольник $MBNK$ является параллелограммом, вершины которого расположены на сторонах треугольника: $M$ на $AB$, $N$ на $BC$ и $K$ на $AC$.

Периметр параллелограмма $MBNK$ вычисляется как удвоенная сумма длин его смежных сторон. Например, возьмем стороны $BN$ и $NK$:

$P_{MBNK} = 2 \cdot (BN + NK)$

Рассмотрим свойства данных фигур для нахождения неизвестных длин сторон.

Так как $MBNK$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $NK$ параллельна стороне $MB$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$, это означает, что $NK \parallel AB$.

Рассмотрим параллельные прямые $NK$ и $AB$, которые пересекает секущая $AC$. Соответственные углы, образованные при таком пересечении, равны: $\angle NKC = \angle BAC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle NKC = \angle BCA$. В треугольнике $NKC$ угол $\angle BCA$ — это тот же угол, что и $\angle NCK$. Таким образом, в треугольнике $NKC$ два угла равны: $\angle NKC = \angle NCK$.

Треугольник, у которого равны два угла, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $NKC$ — равнобедренный, и стороны, лежащие напротив равных углов, также равны: $NK = NC$.

Теперь подставим найденное равенство $NK = NC$ в формулу для вычисления периметра параллелограмма:

$P_{MBNK} = 2 \cdot (BN + NK) = 2 \cdot (BN + NC)$

Сумма длин отрезков $BN$ и $NC$ составляет всю сторону $BC$ треугольника: $BN + NC = BC$.

Из условия задачи мы знаем, что $BC = 12$ см.

Таким образом, периметр параллелограмма $MBNK$ равен:

$P_{MBNK} = 2 \cdot BC = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Найдите периметр параллелограмма MBNK. Ответ: 24.