Номер 21, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

21. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 22).

Найдите:

а) периметр треугольника AOB, если $AC = 20$ см, $BD = 16$ см, $CD = 10$ см;

б) периметр параллелограмма ABCD, если $AC = 14$ см, $BD = 12$ см, $P_{AOB} = 21$ см, $P_{ABD} = 33$ см.

Рис. 22

а)

Периметр треугольника $AOB$ равен сумме длин его сторон: $P_{AOB} = AO + BO + AB$.
По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, мы можем найти длины отрезков $AO$ и $BO$, зная длины диагоналей $AC$ и $BD$.
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Также, по свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $AB = CD$. По условию задачи $CD = 10$ см, значит, $AB = 10$ см.
Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $AOB$:
$P_{AOB} = AO + BO + AB = 10 + 8 + 10 = 28$ см.
Ответ: 28 см.

б)

Периметр параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2 \times (AB + AD)$. Для нахождения периметра нам необходимо найти длины смежных сторон $AB$ и $AD$.
Из условия нам известен периметр треугольника $AOB$: $P_{AOB} = AB + AO + BO = 21$ см.
Используя свойство диагоналей параллелограмма (делятся точкой пересечения пополам), найдем длины $AO$ и $BO$:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Подставим найденные значения в формулу периметра треугольника $AOB$, чтобы найти длину стороны $AB$:
$AB + 7 + 6 = 21$
$AB + 13 = 21$
$AB = 21 - 13 = 8$ см.
Теперь используем второе условие — периметр треугольника $ABD$: $P_{ABD} = AB + AD + BD = 33$ см.
Мы уже знаем, что $AB = 8$ см, а из условия $BD = 12$ см. Подставим эти значения, чтобы найти сторону $AD$:
$8 + AD + 12 = 33$
$AD + 20 = 33$
$AD = 33 - 20 = 13$ см.
Теперь, когда мы знаем длины обеих смежных сторон ($AB=8$ см и $AD=13$ см), мы можем найти периметр параллелограмма $ABCD$:
$P_{ABCD} = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (8 + 13) = 2 \times 21 = 42$ см.
Ответ: 42 см.