Номер 20, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

20. Периметр параллелограмма ABCD равен 48 см. Найдите его стороны, если:

а) $CD = 10 \text{ см};$

б) сторона AD на 2 см больше стороны AB;

в) $AB : AD = 3 : 5;$

г) $AB + BC + CD = 32 \text{ см};$

д) $\angle BAC = \angle DAC.$

Периметр параллелограмма $ABCD$ по условию равен 48 см. Периметр параллелограмма вычисляется как удвоенная сумма длин двух его смежных сторон: $P = 2(a + b)$. В данном случае $P = 2(AB + AD)$. Из этой формулы мы можем найти сумму длин смежных сторон: $AB + AD = P / 2 = 48 / 2 = 24$ см. Также будем использовать свойство параллелограмма, согласно которому его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

а) CD = 10 см;
По свойству противолежащих сторон параллелограмма $AB = CD$, следовательно, $AB = 10$ см. Зная сумму смежных сторон, находим сторону $AD$: $AD = 24 - AB = 24 - 10 = 14$ см. Таким образом, у параллелограмма две стороны по 10 см и две стороны по 14 см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 14 см.

б) сторона AD на 2 см больше стороны AB;
Обозначим длину стороны $AB$ как $x$ см. Тогда длина стороны $AD$ будет $(x + 2)$ см. Составим уравнение, используя сумму смежных сторон: $x + (x + 2) = 24$. Решаем уравнение: $2x + 2 = 24$, $2x = 22$, $x = 11$. Таким образом, сторона $AB = 11$ см, а сторона $AD = 11 + 2 = 13$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 11 см и 13 см.

в) AB : AD = 3 : 5;
Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $AB = 3x$ см и $AD = 5x$ см. Составим уравнение на основе суммы смежных сторон: $3x + 5x = 24$. Решаем уравнение: $8x = 24$, $x = 3$. Находим длины сторон: $AB = 3 \cdot 3 = 9$ см, $AD = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 9 см и 15 см.

г) AB + BC + CD = 32 см;
Периметр — это сумма всех четырех сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 48$ см. Вычтем из периметра сумму трех известных сторон, чтобы найти четвертую сторону $AD$: $AD = 48 - (AB + BC + CD) = 48 - 32 = 16$ см. Теперь, зная одну сторону ($AD = 16$ см), найдем смежную с ней: $AB = 24 - AD = 24 - 16 = 8$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны 8 см и 16 см.

д) ∠BAC = ∠DAC.
Условие $\angle BAC = \angle DAC$ означает, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. В параллелограмме $ABCD$ прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а $AC$ — секущая. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. Из равенств $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию) и $\angle BCA = \angle DAC$ (накрест лежащие) следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, поэтому его боковые стороны равны: $AB = BC$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. У ромба все четыре стороны равны. Периметр ромба равен $P = 4 \cdot AB$. Тогда $48 = 4 \cdot AB$, откуда $AB = 12$ см.
Ответ: все стороны параллелограмма равны 12 см.