Номер 34, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

34. Дан угол $A$ и точка $M$ внутри него. Постройте при помощи циркуля и линейки отрезок с концами на сторонах угла $A$, проходящий через точку $M$, который делится точкой $M$ пополам.

Для решения данной задачи используется метод, основанный на свойствах параллелограмма. Решение состоит из анализа, алгоритма построения и доказательства его правильности.

Сначала проведем анализ. Пусть искомый отрезок — это $BC$, где точка $B$ лежит на одной стороне угла, а точка $C$ — на другой. По условию, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$. Это свойство характерно для точки пересечения диагоналей параллелограмма. Если мы построим такую точку $P$, что четырехугольник $ABPC$ будет являться параллелограммом, то его диагонали $AP$ и $BC$ будут пересекаться в точке $M$ и делиться ею пополам. Отсюда следует, что $M$ должна быть серединой не только $BC$, но и $AP$. Это дает нам ключ к построению: мы можем найти точку $P$, продолжив отрезок $AM$ за точку $M$ на его же длину. Зная точку $P$, мы можем построить и сам параллелограмм, используя свойство параллельности его сторон ($AB \parallel PC$ и $AC \parallel BP$).

На основе анализа составим алгоритм построения:

1. Соединить вершину угла $A$ с точкой $M$ и провести луч $AM$.
2. На этом луче отложить от точки $M$ отрезок $MP$, равный отрезку $AM$, так, чтобы точка $M$ оказалась между точками $A$ и $P$. Для этого нужно измерить циркулем расстояние $AM$ и этим радиусом провести окружность с центром в точке $M$. Точка пересечения окружности и луча за точкой $M$ и будет искомой точкой $P$.
3. Через точку $P$ провести прямую, параллельную одной из сторон угла (например, стороне, на которой будет лежать точка $B$). Эта прямая пересечет вторую сторону угла в точке $C$. Это один из концов искомого отрезка.
4. Соединить точку $C$ с точкой $M$ прямой линией и продлить эту прямую до пересечения с первой стороной угла. Точка пересечения будет вторым концом искомого отрезка — точкой $B$.

Отрезок $BC$ является искомым.

Теперь докажем корректность построения. Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle PMC$.

• Сторона $AM$ равна стороне $MP$ по построению.
• Сторона угла $AB$ параллельна прямой $PC$ по построению (шаг 3). Прямая $AP$ является для них секущей. Следовательно, углы $\angle MAB$ и $\angle MPC$ равны как накрест лежащие.
• Углы $\angle AMB$ и $\angle PMC$ равны как вертикальные.

Таким образом, $\triangle AMB = \triangle PMC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих сторон: $BM = MC$.

Это доказывает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$, концы которого лежат на сторонах угла $A$, а сам отрезок проходит через точку $M$. Построение выполнено верно.