Номер 33, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

33. Сформулируйте какой-либо признак равенства параллелограммов и докажите его. (Фигуры равны, если их можно совместить наложением.)

Формулировка признака равенства параллелограммов: Два параллелограмма равны, если две смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Доказательство:

Рассмотрим два параллелограмма $ABCD$ и $A'B'C'D'$. Пусть по условию теоремы у них равны смежные стороны $AB$ и $AD$ и угол $\angle DAB$ между ними. То есть, $AB = A'B'$, $AD = A'D'$ и $\angle DAB = \angle D'A'B'$. Требуется доказать, что параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A'B'C'D'$. Согласно определению, равные фигуры можно совместить наложением.

Проведём в каждом параллелограмме диагональ, соединяющую вершины заданного угла с противолежащей вершиной. В параллелограмме $ABCD$ это будет диагональ $BD$, а в $A'B'C'D'$ — диагональ $B'D'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A'B'D'$. В этих треугольниках:

• $AB = A'B'$ (по условию)
• $AD = A'D'$ (по условию)
• $\angle DAB = \angle D'A'B'$ (по условию)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD = \triangle A'B'D'$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, равны их стороны $BD$ и $B'D'$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B'C'D'$. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Поэтому:

• Для $ABCD$: $BC = AD$ и $CD = AB$.
• Для $A'B'C'D'$: $B'C' = A'D'$ и $C'D' = A'B'$.

Поскольку из условия мы знаем, что $AD = A'D'$ и $AB = A'B'$, то отсюда следует, что $BC = B'C'$ и $CD = C'D'$.

Таким образом, для треугольников $\triangle BCD$ и $\triangle B'C'D'$ мы имеем:

• $BC = B'C'$ (как доказано выше)
• $CD = C'D'$ (как доказано выше)
• $BD = B'D'$ (из равенства $\triangle ABD$ и $\triangle A'B'D'$)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle BCD = \triangle B'C'D'$.

Мы установили, что параллелограмм $ABCD$ состоит из двух треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle BCD$), которые соответственно равны двум треугольникам ($\triangle A'B'D'$ и $\triangle B'C'D'$), из которых состоит параллелограмм $A'B'C'D'$. Так как эти пары равных треугольников прилегают друг к другу по равным сторонам ($BD$ и $B'D'$), то и сами параллелограммы можно совместить наложением. Значит, параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A'B'C'D'$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Два параллелограмма равны, если две смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.