Номер 36, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

36. Используя данные на рисунках 34, а)—г), докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

а) $AB = CD$, $\angle B = \angle D$

б) $AD = BC$, $\angle A = \angle C$

в) $AO = OC$, $BO = OD$

г) $AO = OC$, $\angle ABD = \angle CDB$, $\angle BAC = \angle ACD$

Рис. 34

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Согласно данным на рисунке, сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$), и угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CDB$.

Углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).

В четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм), $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Согласно данным на рисунке, сторона $BC$ равна стороне $AD$ ($BC = AD$), и угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

В четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

в)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По данным рисунка, $BO = OD$ и $\angle OBA = \angle ODC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них сторона $BO$ треугольника $\triangle AOB$ равна стороне $OD$ треугольника $\triangle COD$ по условию. Угол $\angle OBA$, прилежащий к стороне $BO$, равен углу $\angle ODC$, прилежащему к стороне $OD$, по условию. Угол $\angle AOB$, также прилежащий к стороне $BO$, равен углу $\angle COD$, прилежащему к стороне $OD$, так как они вертикальные. Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть $AO = CO$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали в точке пересечения делятся пополам ($BO=OD$ по условию, $AO=CO$ по доказанному). По признаку параллелограмма (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм), $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

г)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По данным рисунка, $AO = OC$ и $\angle ODA = \angle OBC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. В них $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы) и $\angle ODA = \angle OBC$ (по условию). Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то из равенства двух пар углов в треугольниках следует и равенство третьей пары углов: $\angle OAD = \angle OCB$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OC$ треугольника $\triangle COB$ по условию. Угол $\angle OAD$, прилежащий к стороне $AO$, равен углу $\angle OCB$, прилежащему к стороне $OC$. Угол $\angle AOD$, также прилежащий к стороне $AO$, равен углу $\angle COB$, прилежащему к стороне $OC$, так как они вертикальные. Таким образом, $\triangle AOD \cong \triangle COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть $OD = OB$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали в точке пересечения делятся пополам ($AO=OC$ по условию и $BO=OD$ по доказанному). По признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.