Номер 42, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

42. MNPK — четырехугольник, $MN = PK$, $NP = MK$, $\angle M = 72^\circ$. Найдите:

a) градусные меры углов $\angle MKP$ и $\angle NPK$;

б) угол между биссектрисой угла $\angle K$ и прямой $NP$.

Поскольку в четырехугольнике $MNPK$ противолежащие стороны попарно равны ($MN = PK$ и $NP = MK$), то данный четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

Угол $MKP$ — это внутренний угол параллелограмма при вершине $K$, а угол $NPK$ — это внутренний угол при вершине $P$. В параллелограмме $MNPK$ вершины $M$ и $P$ являются противолежащими, так же как и вершины $N$ и $K$.

По свойству противолежащих углов параллелограмма, их градусные меры равны: $\angle P = \angle M$.

Согласно условию задачи, $\angle M = 72^\circ$, следовательно, $\angle NPK = \angle P = 72^\circ$.

Углы $K$ и $M$ являются прилежащими к одной стороне $MK$, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle K + \angle M = 180^\circ$.

Отсюда можем найти градусную меру угла $K$: $\angle MKP = \angle K = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Ответ: градусная мера угла $MKP$ равна $108^\circ$, градусная мера угла $NPK$ равна $72^\circ$.

Пусть $KL$ — это биссектриса угла $K$. По определению, биссектриса делит угол пополам. Угол $K$ состоит из двух частей, образованных биссектрисой: $\angle MKL$ и $\angle PKL$.

Из пункта а) мы знаем, что $\angle K = 108^\circ$. Тогда: $\angle MKL = \angle PKL = \frac{\angle K}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$.

В параллелограмме $MNPK$ противолежащие стороны параллельны, следовательно, $MK \parallel NP$. Биссектриса $KL$ является секущей по отношению к параллельным прямым $MK$ и $NP$.

Угол между биссектрисой $KL$ и прямой $NP$ и угол $\angle MKL$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны.

Следовательно, искомый угол равен градусной мере угла $\angle MKL$.

Ответ: $54^\circ$.