Номер 48, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

48. Точки $P(-1; 1)$, $E(-3; 5)$, $K(4; 5)$ — вершины параллелограмма. Найдите координаты четвертой вершины $G$. Рассмотрите все варианты.

Для нахождения координат четвертой вершины G параллелограмма, зная три его вершины P, E и K, необходимо рассмотреть все возможные варианты построения параллелограмма. Существует три таких варианта, в зависимости от того, какие из данных вершин являются смежными, а какие — противоположными.

Мы будем использовать основное свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть искомая вершина имеет координаты $G(x_G; y_G)$. Данные вершины: $P(-1; 1)$, $E(-3; 5)$, $K(4; 5)$.

В этом случае P и K — противоположные вершины, так же как E и G. Середины их диагоналей совпадают. Найдем координаты середины M диагонали PK.

$x_M = \frac{x_P + x_K}{2} = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2}$

$y_M = \frac{y_P + y_K}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Точка $M(\frac{3}{2}; 3)$ также является серединой диагонали EG. Используем это для нахождения координат точки G.

$\frac{3}{2} = \frac{x_E + x_G}{2} = \frac{-3 + x_G}{2} \implies 3 = -3 + x_G \implies x_G = 6$

$3 = \frac{y_E + y_G}{2} = \frac{5 + y_G}{2} \implies 6 = 5 + y_G \implies y_G = 1$

Таким образом, координаты четвертой вершины в этом случае $G_1(6; 1)$.

Ответ: $G_1(6; 1)$.

В этом случае P и E — противоположные вершины, так же как K и G. Найдем координаты середины N диагонали PE.

$x_N = \frac{x_P + x_E}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_N = \frac{y_P + y_E}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Точка $N(-2; 3)$ также является серединой диагонали KG. Найдем координаты точки G.

$-2 = \frac{x_K + x_G}{2} = \frac{4 + x_G}{2} \implies -4 = 4 + x_G \implies x_G = -8$

$3 = \frac{y_K + y_G}{2} = \frac{5 + y_G}{2} \implies 6 = 5 + y_G \implies y_G = 1$

Таким образом, координаты четвертой вершины в этом случае $G_2(-8; 1)$.

Ответ: $G_2(-8; 1)$.

В этом случае E и K — противоположные вершины, так же как P и G. Найдем координаты середины Q диагонали EK.

$x_Q = \frac{x_E + x_K}{2} = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$

$y_Q = \frac{y_E + y_K}{2} = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Точка $Q(\frac{1}{2}; 5)$ также является серединой диагонали PG. Найдем координаты точки G.

$\frac{1}{2} = \frac{x_P + x_G}{2} = \frac{-1 + x_G}{2} \implies 1 = -1 + x_G \implies x_G = 2$

$5 = \frac{y_P + y_G}{2} = \frac{1 + y_G}{2} \implies 10 = 1 + y_G \implies y_G = 9$

Таким образом, координаты четвертой вершины в этом случае $G_3(2; 9)$.

Ответ: $G_3(2; 9)$.

Итак, мы рассмотрели все три возможных случая и нашли три возможных положения для четвертой вершины параллелограмма.