Тест 2, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Если $ABCD$ — параллелограмм и $AC = BD$, то $\alpha = ...$

а) $90^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $180^\circ$.

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, и его диагонали $AC$ и $BD$ равны между собой.

Ключевое свойство, которое здесь применяется: параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Приведем доказательство этого факта. Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. У них:
1. Сторона $AD$ равна стороне $BC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. Сторона $DC$ является общей для обоих треугольников.
3. Диагональ $AC$ равна диагонали $BD$ (согласно условию).

Таким образом, треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ равны по трем сторонам (признак SSS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ADC = \angle BCD$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ$.

Учитывая, что $\angle ADC = \angle BCD$, мы можем подставить одно значение в уравнение:
$\angle ADC + \angle ADC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ADC = 180^\circ$
$\angle ADC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником. У прямоугольника все внутренние углы равны $90^\circ$.

В вопросе "то $\alpha$ = ..." требуется найти величину угла, которая определяется заданными условиями. Этой величиной является внутренний угол прямоугольника. Несмотря на то, что на схеме угол $\alpha$ изображен как внешний, в задачах такого типа под $\alpha$ обычно подразумевается основная характеристика фигуры, которая следует из условий.

Следовательно, $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: а) $90^\circ$