Номер 1, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

1. В прямоугольнике провели два отрезка, перпендикулярные его сторонам (рис. 44). Какое максимальное число прямоугольников можно насчитать на рисунке?

Рис. 44

1. Чтобы найти максимальное число прямоугольников на рисунке, нужно учесть не только 4 маленьких прямоугольника, образованных отрезками, но и все прямоугольники, которые можно составить, объединяя их. Посчитаем все возможные варианты.

Можно применить два способа подсчета:

Способ 1: Прямой подсчет

Мысленно пронумеруем все прямоугольники по их составу:

• Прямоугольники из одной части: это 4 самых маленьких прямоугольника (красный, салатовый, белый и бежевый на цветном рисунке). Итого: 4.
• Прямоугольники из двух частей:
  • Горизонтальные: верхний ряд (красный + салатовый) и нижний ряд (белый + бежевый). Итого: 2.
  • Вертикальные: левый столбец (красный + белый) и правый столбец (салатовый + бежевый). Итого: 2.
• Прямоугольники из четырех частей: это один большой прямоугольник, который включает в себя все четыре части. Итого: 1.

Теперь сложим количество всех найденных прямоугольников: $4 + 2 + 2 + 1 = 9$.

Способ 2: Комбинаторный метод

Любой прямоугольник на этой фигуре определяется выбором двух вертикальных и двух горизонтальных линий из всех имеющихся. Посчитаем количество линий:

• Количество горизонтальных линий: 3 (верхняя и нижняя границы большого прямоугольника и один внутренний отрезок).
• Количество вертикальных линий: 3 (левая и правая границы большого прямоугольника и один внутренний отрезок).

Чтобы образовать прямоугольник, нам нужно выбрать 2 из 3 горизонтальных линий. Количество способов это сделать вычисляется по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии из 3: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$.

Аналогично, количество способов выбрать 2 вертикальные линии из 3: $C_3^2 = 3$.

Общее число прямоугольников равно произведению числа способов выбора горизонтальных и вертикальных линий:

$3 \times 3 = 9$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 9