Номер 56, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

56. По данным на рисунке 52 найдите периметр прямоугольника $ABCD$.

Рис. 52

Решение:

1. Фигура $ABCD$ является прямоугольником. По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны, а все углы прямые. Следовательно, $AB = CD$ и $\angle B = 90^\circ$. Из условия задачи нам известно, что $CD = 5$, значит, и сторона $AB = 5$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Так как $\angle B = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. По условию, один из его острых углов $\angle KAB = 45^\circ$.

3. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем второй острый угол этого треугольника, $\angle AKB$:

$\angle AKB = 180^\circ - \angle B - \angle KAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4. Поскольку в треугольнике $\triangle ABK$ два угла равны ($\angle KAB = \angle AKB = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, катет $BK$ равен катету $AB$:

$BK = AB = 5$.

5. Длина стороны $BC$ прямоугольника равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$. По условию задачи $KC = 4$.

$BC = BK + KC = 5 + 4 = 9$.

6. Теперь мы знаем длины обеих смежных сторон прямоугольника: $AB = 5$ и $BC = 9$. Периметр прямоугольника $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.

$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (5 + 9) = 2 \cdot 14 = 28$.

Ответ: 28.