Номер 62, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

62. Докажите, что концы двух диаметров окружности являются вершинами прямоугольника.

Дано:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведены два произвольных диаметра $AB$ и $CD$. Концы этих диаметров, точки $A$, $C$, $B$, $D$, последовательно соединены, образуя четырехугольник $ACBD$.

Доказать:

Четырехугольник $ACBD$ является прямоугольником.

Доказательство (Способ 1: через свойства диагоналей)

1. Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Отрезки $AB$ и $CD$ являются его диагоналями.

2. По определению диаметра, оба отрезка ($AB$ и $CD$) проходят через центр окружности $O$ и делятся им пополам. То есть $AO = OB = R$ и $CO = OD = R$.

3. Так как диагонали четырехугольника $ACBD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то по признаку параллелограмма, четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом.

4. Длины диагоналей $AB$ и $CD$ равны, так как обе они являются диаметрами одной и той же окружности: $AB = 2R$ и $CD = 2R$. Следовательно, $AB = CD$.

5. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Так как $ACBD$ — это параллелограмм с равными диагоналями ($AB = CD$), то $ACBD$ — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Доказательство (Способ 2: через вписанные углы)

1. Рассмотрим угол $\angle CAD$ четырехугольника $ACBD$. Этот угол является вписанным в окружность.

2. Вписанный угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. Поскольку $CD$ — это диаметр, то градусная мера дуги $CD$ составляет $180^\circ$.

3. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Таким образом, $\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Аналогично можно доказать для остальных углов четырехугольника:

• Угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, следовательно $\angle ACB = 90^\circ$.
• Угол $\angle CBD$ опирается на диаметр $CD$, следовательно $\angle CBD = 90^\circ$.
• Угол $\angle BDA$ опирается на диаметр $AB$, следовательно $\angle BDA = 90^\circ$.

5. Так как все четыре угла четырехугольника $ACBD$ равны $90^\circ$, по определению он является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, вершины которого являются концами двух диаметров, является прямоугольником, так как его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, что является свойством прямоугольника. Альтернативно, все его углы являются вписанными и опираются на диаметры, а значит, равны $90^\circ$.