Номер 66, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

66. В параллелограмме $ABCD$ ($AD \neq AB$) провели биссектрисы его углов. Какую фигуру ограничивают четыре построенные биссектрисы? Докажите вашу гипотезу.

Какую фигуру ограничивают четыре построенные биссектрисы? Докажите вашу гипотезу.

Гипотеза состоит в том, что четыре биссектрисы углов параллелограмма ($AD \neq AB$) ограничивают прямоугольник. Докажем эту гипотезу.

Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $P$, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке $Q$, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке $R$, и биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке $S$. Фигура, ограниченная биссектрисами, — это четырехугольник $PQRS$.

В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим пару соседних углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Их сумма составляет $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Он образован биссектрисой угла $\angle A$ (луч $AP$), биссектрисой угла $\angle B$ (луч $BP$) и стороной $AB$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов параллелограмма: $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle APB$, который является одним из углов искомого четырехугольника $PQRS$:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.

Подставим известное значение суммы углов $\angle A + \angle B = 180^\circ$:
$\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, угол $\angle SPQ$ четырехугольника $PQRS$ является прямым.

Проводя аналогичные рассуждения для остальных пар соседних углов параллелограмма ($\angle B$ и $\angle C$, $\angle C$ и $\angle D$, $\angle D$ и $\angle A$), мы докажем, что все углы четырехугольника $PQRS$ являются прямыми.
Биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ образуют прямой угол $\angle BQC = 90^\circ$ (угол $\angle PQR$).
Биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ образуют прямой угол $\angle CRD = 90^\circ$ (угол $\angle QRS$).
Биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ образуют прямой угол $\angle DSA = 90^\circ$ (угол $\angle RSP$).

Поскольку все четыре угла четырехугольника $PQRS$ ($\angle SPQ$, $\angle PQR$, $\angle QRS$, $\angle RSP$) равны $90^\circ$, по определению этот четырехугольник является прямоугольником.

Условие $AD \neq AB$ дано для того, чтобы исключить случай ромба или квадрата. В ромбе все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, и искомая фигура вырождается в точку.

Ответ: Прямоугольник.