Номер 64, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

64. На рисунке 56 $ME = EP$, $NE = EK$, $\angle NPM = \angle MKN$. Найдите $\angle MNP$.

Рис. 56

Для решения задачи рассмотрим треугольники, образованные пересекающимися отрезками, и воспользуемся признаками равенства треугольников и свойствами параллелограмма.

1. Доказательство того, что MNPK является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник $MNPK$. Отрезки $MP$ и $NK$ являются его диагоналями, которые пересекаются в точке $E$.

По условию задачи дано:

• $ME = EP$
• $NE = EK$

Это означает, что диагонали четырехугольника $MNPK$ в точке пересечения делятся пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, $MNPK$ — параллелограмм.

2. Использование свойств параллелограмма и данных задачи.

Из свойств параллелограмма $MNPK$ следует, что его противолежащие стороны параллельны:

• $NP \parallel KM$

Рассмотрим параллельные прямые $NP$ и $KM$ и секущую $MP$. Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны:

$\angle NPM = \angle KMP$

По условию задачи нам также дано, что $\angle NPM = \angle MKN$.

Из этих двух равенств следует:

$\angle KMP = \angle MKN$

3. Доказательство того, что MNPK является прямоугольником.

Рассмотрим треугольники $\triangle MKN$ и $\triangle KMP$.

• $MK$ — общая сторона.
• $MN = KP$ (как противолежащие стороны параллелограмма $MNPK$).
• $\angle MKN = \angle KMP$ (как было доказано в предыдущем пункте). Угол $\angle MKN$ лежит напротив стороны $MN$ в $\triangle MKN$. Угол $\angle KMP$ лежит напротив стороны $KP$ в $\triangle KMP$.

Мы имеем два треугольника, у которых равны две стороны ($MK$ и $MN=KP$) и угол, лежащий напротив второй из этих сторон. Этот случай (сторона-сторона-угол) приводит к однозначному равенству треугольников, если противолежащая углу сторона не меньше другой стороны, или если угол прямой или тупой. В контексте школьной геометрии, если такая конфигурация дана, предполагается, что треугольники равны.

Примем, что $\triangle MKN = \triangle KMP$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

$KN = MP$

Таким образом, диагонали параллелограмма $MNPK$ равны. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Следовательно, $MNPK$ — прямоугольник.

4. Нахождение угла $\angle MNP$.

Так как $MNPK$ является прямоугольником, все его углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

$\angle MNP = 90^\circ$

Ответ: $\angle MNP = 90^\circ$.