Тест 1, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

ABCD — ромб. Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.

а) $180^\circ$; б) $242^\circ$; в) $360^\circ$; г) $140^\circ$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства ромба. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Ключевые свойства ромба, которые понадобятся для решения: диагонали пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Вычислим последовательно каждый из искомых углов.

Нахождение угла 1 ($\angle BOC$)

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Точка их пересечения — $O$. Следовательно, все углы при пересечении диагоналей равны $90^\circ$.

$\angle 1 = \angle BOC = 90^\circ$.

Нахождение угла 2 ($\angle CBO$)

По свойству ромба, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это значит, что $\angle ABC$ делится на два равных угла: $\angle ABO$ и $\angle CBO$. Из условия задачи известно, что $\angle ABO = 59^\circ$.

Следовательно, $\angle 2 = \angle CBO = \angle ABO = 59^\circ$.

Нахождение углов 3 ($\angle OAB$) и 4 ($\angle OAD$)

Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Он прямоугольный, так как $\angle AOB = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.

$\angle OAB + \angle ABO = 90^\circ$

$\angle OAB + 59^\circ = 90^\circ$

$\angle OAB = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$

Таким образом, угол 3 ($\angle OAB$) равен $31^\circ$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, поэтому она делит его на два равных угла $\angle OAB$ и $\angle OAD$.

$\angle 4 = \angle OAD = \angle OAB = 31^\circ$.

Нахождение угла 5 ($\angle BCO$)

Рассмотрим треугольник $\triangle BCO$. Он также прямоугольный ($\angle BOC = 90^\circ$).

$\angle BCO + \angle CBO = 90^\circ$

$\angle 5 + 59^\circ = 90^\circ$

$\angle 5 = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

Также можно заметить, что так как стороны ромба $AB$ и $BC$ равны, треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный, и углы при его основании $AC$ равны: $\angle BCA = \angle BAC = 31^\circ$.

Вычисление суммы углов

Теперь сложим все найденные значения углов:

Сумма = $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5$

Сумма = $90^\circ + 59^\circ + 31^\circ + 31^\circ + 31^\circ$

Сумма = $90 + 59 + 3 \times 31 = 149 + 93 = 242^\circ$.

Таким образом, искомая сумма углов равна $242^\circ$, что соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) 242°.