Номер 72, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

72. Дан ромб $ABCD$, $\angle DBC = 64^\circ$. Найдите:

а) $\angle ABC$;

б) $\angle CDB$;

в) $\angle BAD$;

г) $\angle ACD$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали являются биссектрисами его углов, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.

Диагональ BD является биссектрисой угла $∠ABC$ (по свойству диагоналей ромба). Это значит, что она делит угол $∠ABC$ на два равных угла: $∠ABD$ и $∠DBC$. Из условия известно, что $∠DBC = 64°$, следовательно, $∠ABD = ∠DBC = 64°$. Угол $∠ABC$ равен сумме этих двух углов: $∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 64° + 64° = 128°$.
Ответ: $128°$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как в ромбе все стороны равны, то $BC = CD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $BCD$ основанием является диагональ $BD$, значит, $∠CDB = ∠DBC$. Поскольку $∠DBC = 64°$, то $∠CDB = 64°$.
Ответ: $64°$.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180°$. Углы $∠ABC$ и $∠BAD$ прилежат к стороне $AB$. Следовательно, $∠BAD + ∠ABC = 180°$. Из пункта а) мы знаем, что $∠ABC = 128°$. Тогда $∠BAD = 180° - ∠ABC = 180° - 128° = 52°$.
Ответ: $52°$.

Противоположные углы в ромбе равны. Поэтому $∠BCD = ∠BAD = 52°$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $∠BCD$ (по свойству диагоналей ромба). Это означает, что $AC$ делит угол $∠BCD$ на два равных угла: $∠BCA$ и $∠ACD$. Таким образом, $∠ACD = \frac{1}{2} ∠BCD = \frac{1}{2} \cdot 52° = 26°$.
Ответ: $26°$.