Номер 76, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

76. Один из углов ромба равен $120^\circ$, меньшая диагональ равна 8 см. Найдите периметр ромба.

Найдите периметр ромба

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. По условию, один из углов равен $120^\circ$. Следовательно, соседний с ним угол будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, углы ромба равны $120^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В ромбе меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов (в данном случае $120^\circ$) и лежит напротив острых углов ($60^\circ$).

Рассмотрим треугольник, который образует меньшая диагональ и две прилежащие к ней стороны ромба. Две стороны этого треугольника равны стороне ромба $a$, а угол между ними — это острый угол ромба, равный $60^\circ$.

Таким образом, мы получили равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Такой треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Третья сторона этого треугольника — это меньшая диагональ, длина которой по условию равна 8 см.

Следовательно, сторона ромба $a$ также равна 8 см. $a = 8$ см.

Теперь мы можем найти периметр ромба, умножив длину стороны на 4: $P = 4 \times a = 4 \times 8 = 32$ см.

Ответ: 32 см.