Номер 78, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

78. Докажите, что если у четырехугольника все стороны равны, то это — ромб.

Для доказательства данного утверждения необходимо показать, что четырехугольник с равными сторонами соответствует определению ромба. Определение ромба гласит: ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Условие о том, что у четырехугольника все стороны равны, нам уже дано в задаче. Следовательно, задача сводится к доказательству того, что такой четырехугольник является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором по условию все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

Проведем диагональ $AC$, которая разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти два треугольника:

• $AB = CD$ (по условию равенства всех сторон).
• $BC = DA$ (по условию равенства всех сторон).
• $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов:

• $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).
• $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Мы установили, что у четырехугольника $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны. По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Итак, мы доказали, что четырехугольник с равными сторонами является параллелограммом. А так как по условию все его стороны равны, он полностью соответствует определению ромба. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является параллелограммом (так как из равенства сторон следует параллельность противолежащих сторон). Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.