Номер 80, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

80. При помощи двусторонней линейки (обычной линейки с параллельными краями) разделите данный угол $\alpha$ пополам. Обоснуйте построение.

Построение

Пусть дан угол $ \alpha $ с вершиной в точке $O$ и сторонами, лежащими на лучах $OA$ и $OB$. Ширину двусторонней линейки (расстояние между ее параллельными краями) обозначим как $h$.

1. Приложим один из параллельных краев линейки к лучу $OA$ и проведем по другому краю прямую $a$ внутри угла. По построению, прямая $a$ параллельна лучу $OA$ и расстояние от любой точки прямой $a$ до луча $OA$ равно $h$.
2. Аналогично, приложим один край линейки к лучу $OB$ и проведем по другому краю прямую $b$ внутри угла. Прямая $b$ будет параллельна лучу $OB$, и расстояние от любой ее точки до луча $OB$ будет равно $h$.
3. Прямые $a$ и $b$ пересекутся в некоторой точке $M$, лежащей внутри угла.
4. Проведем луч $OM$, соединяющий вершину угла с полученной точкой.

Ответ: Построенный луч $OM$ является биссектрисой данного угла $\alpha$.

Обоснование

Докажем, что построенный луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$, то есть делит его на два равных угла: $\angle AOM = \angle BOM$.

Из построения следует, что точка $M$ принадлежит прямой $a$, которая параллельна стороне $OA$ и удалена от нее на расстояние $h$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до стороны угла $OA$ равно $h$.

Аналогично, точка $M$ принадлежит прямой $b$, которая параллельна стороне $OB$ и удалена от нее на расстояние $h$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до стороны угла $OB$ также равно $h$.

Таким образом, точка $M$ является точкой, равноудаленной от сторон угла $AOB$.

Для формального доказательства равенства углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$ опустим из точки $M$ перпендикуляры на стороны угла. Пусть $P$ — основание перпендикуляра на луче $OA$, а $Q$ — основание перпендикуляра на луче $OB$. Длины этих перпендикуляров по определению равны расстоянию от точки до прямой, то есть $MP = h$ и $MQ = h$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$.

• У них общая гипотенуза $OM$.
• Их катеты $MP$ и $MQ$ равны, так как $MP = MQ = h$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников вытекает равенство их соответствующих углов: $\angle POM = \angle QOM$. Поскольку точки $P$ и $Q$ лежат на лучах $OA$ и $OB$ соответственно, то $\angle AOM = \angle BOM$. Это и означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$.

Ответ: Построение основано на свойстве биссектрисы угла как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от его сторон. С помощью двусторонней линейки мы находим одну такую точку $M$ и, соединив ее с вершиной угла, получаем искомую биссектрису.