Тест 2, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

1. Является ли квадрат ромбом? Аргументируйте ваш ответ.

2. Может ли ромб быть прямоугольником? Если да, то при каком условии?

1. Да, квадрат является ромбом. Для аргументации этого утверждения обратимся к определениям этих геометрических фигур.
Определение ромба: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Определение квадрата: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, или, что эквивалентно, это четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Из определения квадрата следует, что у него все стороны равны. Это свойство является ключевым и единственным требованием для ромба (помимо того, что он параллелограмм, а квадрат им является). Таким образом, квадрат полностью удовлетворяет определению ромба. Квадрат можно считать частным, или специальным, случаем ромба, у которого все углы прямые ($90^\circ$).
Ответ: Да, квадрат является ромбом, так как он обладает главным свойством ромба — равенством всех сторон.

2. Да, ромб может быть прямоугольником. Это происходит при выполнении определенного условия.
Свойства ромба: все стороны равны, противоположные углы равны, соседние углы в сумме дают $180^\circ$.
Свойства прямоугольника: противоположные стороны равны, все углы прямые ($90^\circ$).
Чтобы ромб стал прямоугольником, его углы должны стать прямыми. Рассмотрим ромб. Если хотя бы один из его углов станет равным $90^\circ$, то и противоположный ему угол будет равен $90^\circ$. Так как сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, то и два других угла также будут по $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, все углы ромба станут прямыми.
Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. А любой квадрат, в свою очередь, является прямоугольником (так как у него все углы прямые).
Таким образом, условие, при котором ромб становится прямоугольником, — это наличие у него хотя бы одного прямого угла.
Эквивалентное условие можно выразить через диагонали. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, а у прямоугольника — равны. Если у ромба диагонали становятся равными, он превращается в квадрат, который является прямоугольником.
Ответ: Да, ромб может быть прямоугольником при условии, что его углы прямые (или хотя бы один угол прямой), то есть если этот ромб является квадратом.