Номер 77, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

77. $BK$ и $BM$ — высоты ромба. Найдите углы треугольника $KBM$, если:

a) высота $BK$ в 2 раза меньше стороны $AB$;

б) высота $BM$ делит сторону $CD$ пополам.

Пусть дан ромб ABCD. BK и BM — его высоты, проведенные из вершины B к сторонам AD и CD соответственно ($BK \perp AD$, $BM \perp CD$).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$. Так как в ромбе все стороны равны ($AB=CB$) и противолежащие углы равны ($\angle A = \angle C$), то $\triangle ABK \cong \triangle CBM$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $BK = BM$. Таким образом, треугольник KBM является равнобедренным.

Рассмотрим четырехугольник BKDM. Сумма его углов равна $360^\circ$. Два угла в этом четырехугольнике прямые: $\angle BKD = 90^\circ$ и $\angle BMD = 90^\circ$. Следовательно, сумма двух других углов равна $180^\circ$: $\angle KBM + \angle D = 180^\circ$.

Поскольку $\angle A$ и $\angle D$ — соседние углы ромба, их сумма также равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle D = 180^\circ$). Сравнивая эти два равенства, получаем, что $\angle KBM = \angle A$.

Так как $\triangle KBM$ равнобедренный, его углы при основании равны: $\angle BKM = \angle BMK$. Их можно найти из суммы углов треугольника: $\angle BKM = \angle BMK = \frac{180^\circ - \angle KBM}{2} = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{\angle D}{2}$.

Теперь, используя эти общие соотношения, решим поставленные задачи.

а) высота BK в 2 раза меньше стороны AB

По условию дано, что $BK = \frac{1}{2} AB$. В прямоугольном треугольнике ABK ($\angle AKB = 90^\circ$), катет BK лежит напротив угла A. Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла: $\sin(\angle A) = \frac{BK}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$.

Так как угол при вершине ромба не может быть тупым, если высота падает на сторону, то $\angle A$ — острый угол. Единственный острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. Итак, $\angle A = 30^\circ$.

Теперь найдем углы треугольника KBM:

• $\angle KBM = \angle A = 30^\circ$
• $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$
• $\angle BKM = \angle BMK = \frac{\angle D}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Ответ: $30^\circ, 75^\circ, 75^\circ$.

б) высота BM делит сторону CD пополам

По условию, точка M — середина стороны CD. Это означает, что $CM = \frac{1}{2} CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCM ($\angle BMC = 90^\circ$). В ромбе все стороны равны, поэтому $BC = CD$. Следовательно, $CM = \frac{1}{2} BC$.

В прямоугольном треугольнике BCM катет CM равен половине гипотенузы BC. Это свойство означает, что угол, противолежащий этому катету, равен $30^\circ$. Таким образом, $\angle CBM = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому: $\angle C = 90^\circ - \angle CBM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Мы нашли угол ромба. $\angle A = \angle C = 60^\circ$. Теперь найдем углы треугольника KBM:

• $\angle KBM = \angle A = 60^\circ$
• $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
• $\angle BKM = \angle BMK = \frac{\angle D}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Все три угла треугольника KBM равны $60^\circ$, следовательно, он является равносторонним.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.