Номер 81, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

81. На координатной плоскости изобразите четырехугольник $ABCD$, у которого $A(-2; 2)$, $B(4; 4)$, $C(2; -2)$, $D(-4; -4)$. Докажите, что $ABCD$ — ромб.

На координатной плоскости изобразите четырехугольник ABCD, у которого A(-2; 2), B(4; 4), C(2; -2), D(-4; -4)

Для построения четырехугольника на координатной плоскости необходимо отметить точки с заданными координатами: A(-2; 2), B(4; 4), C(2; -2) и D(-4; -4). Затем последовательно соединить эти точки отрезками: AB, BC, CD и DA. В результате получим графическое представление четырехугольника ABCD.

Ответ: Четырехугольник ABCD изображен на координатной плоскости путем нанесения его вершин в соответствии с их координатами и соединения их отрезками.

Докажите, что ABCD — ромб

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, нужно показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Длина отрезка (стороны) между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Вычислим длины каждой из сторон четырехугольника ABCD.

1. Длина стороны AB с вершинами в точках A(-2; 2) и B(4; 4):

$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

2. Длина стороны BC с вершинами в точках B(4; 4) и C(2; -2):

$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

3. Длина стороны CD с вершинами в точках C(2; -2) и D(-4; -4):

$CD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

4. Длина стороны DA с вершинами в точках D(-4; -4) и A(-2; 2):

$DA = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

Сравнение длин сторон показывает, что $AB = BC = CD = DA = \sqrt{40}$.

Поскольку все четыре стороны четырехугольника ABCD равны, по определению он является ромбом.

Ответ: Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{40}$, четырехугольник ABCD является ромбом.