Номер 75, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

75. $ABCD$ — параллелограмм (рис. 68), $\angle BAC = \angle DAC = 15^\circ$. Расстояние от точки $C$ до прямой $AD$ равно 12 см. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.

Рис. 68

1. Определим вид параллелограмма и его углы.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм. Диагональ $AC$ делит угол $\angle A$ на два равных угла: $\angle BAC = \angle DAC = 15^\circ$. Весь угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) равен их сумме: $\angle DAB = \angle BAC + \angle DAC = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$.

В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны: $\angle BCA = \angle DAC = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем есть два равных угла: $\angle BAC = 15^\circ$ и $\angle BCA = 15^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой: $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, в котором смежные стороны ($AB$ и $BC$) равны, то все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$). Такой параллелограмм называется ромбом.

2. Найдем длину стороны ромба.

Расстояние от точки $C$ до прямой $AD$ — это длина перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Обозначим эту высоту $CH$. По условию, $CH = 12$ см.

Чтобы использовать эту высоту для нахождения стороны, нам нужен угол ромба. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle D$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Поскольку угол $\angle ADC = 150^\circ$ является тупым, высота $CH$ из вершины $C$ опустится на продолжение стороны $AD$ за точку $D$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$. В нем:

• $CH = 12$ см (катет).
• $CD$ — сторона ромба, которую мы ищем (гипотенуза).
• Угол $\angle CDH$ смежен с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle CDH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle CDH$ катет $CH$ лежит против угла $\angle CDH = 30^\circ$. Следовательно, $CH = \frac{1}{2} CD$. Отсюда можем найти длину стороны $CD$: $CD = 2 \cdot CH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Итак, длина каждой стороны ромба $ABCD$ равна 24 см.

3. Найдем периметр параллелограмма (ромба).

Периметр ромба — это сумма длин всех его четырех равных сторон. $P_{ABCD} = 4 \cdot CD = 4 \cdot 24 = 96$ см.

Ответ: 96 см.