Номер 74, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

74. ABCD — параллелограмм (рис. 67), $AB = BC$, $OM \perp DC$, $\angle COM = 58^\circ$. Найдите $\angle ABD$.

Рис. 67

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$ и $BC = AD$. По условию задачи $AB = BC$. Из этих двух условий следует, что все стороны параллелограмма равны: $AB = BC = CD = DA$. Фигура, у которой все стороны равны, является ромбом.

Рассмотрим треугольник ΔOMC. Из условия известно, что $OM \perp DC$, следовательно, $\angle OMC = 90°$. Также дано, что $\angle COM = 58°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому мы можем найти угол $\angle OCM$:

$\angle OCM = 180° - \angle OMC - \angle COM = 180° - 90° - 58° = 32°$

Угол $\angle OCM$ является частью угла $\angle BCD$, а также равен углу $\angle OCD$. Итак, $\angle OCD = 32°$.

Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что $AC \perp BD$, и угол между ними в точке пересечения $O$ равен $90°$. Таким образом, $\angle COD = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник ΔOCD. Он является прямоугольным, так как $\angle COD = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Мы знаем $\angle OCD = 32°$, значит можем найти угол $\angle ODC$:

$\angle ODC = 90° - \angle OCD = 90° - 32° = 58°$

Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ (который равен найденному нами $\angle ODC$) являются внутренними накрест лежащими углами. Следовательно, они равны.

$\angle ABD = \angle BDC = 58°$

Таким образом, искомый угол $\angle ABD$ равен $58°$.

Ответ: $58°$.