Тест 2, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

1. Является ли любой ромб параллелограммом?

2. Является ли любой параллелограмм ромбом?

3. Каким условиям должен отвечать параллелограмм, чтобы быть ромбом? Перечислите все известные вам наборы условий.

1. Является ли любой ромб параллелограммом?

Да, любой ромб является параллелограммом. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Существует признак параллелограмма, который гласит: "Если в выпуклом четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм". Поскольку у ромба равны все стороны, то его противолежащие стороны тем более попарно равны. Следовательно, любой ромб удовлетворяет этому признаку и является параллелограммом. Другими словами, множество ромбов является подмножеством множества параллелограммов.

Ответ: Да, является.

2. Является ли любой параллелограмм ромбом?

Нет, не любой параллелограмм является ромбом. У параллелограмма, по определению, противолежащие стороны параллельны, из чего следует их попарное равенство. Однако смежные стороны, в общем случае, не равны. Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо равенство всех его сторон. Например, прямоугольник с неравными смежными сторонами (длиной и шириной) является параллелограммом, но не является ромбом. Таким образом, ромб — это частный случай параллелограмма, который обладает дополнительными свойствами.

Ответ: Нет, не является.

3. Каким условиям должен отвечать параллелограмм, чтобы быть ромбом? Перечислите все известные вам наборы условий.

Параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих достаточных условий (признаков ромба):

Условие 1: Равенство смежных сторон.
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то он является ромбом. Пусть в параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны. По свойству параллелограмма противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Из условия $AB = BC$ следует, что все стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$. Четырехугольник с равными сторонами является ромбом по определению.

Условие 2: Перпендикулярность диагоналей.
Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом. Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и $AC \perp BD$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $BOC$. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $AO = OC$. Сторона $BO$ является общей для этих треугольников. Так как $AC \perp BD$, то углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ прямые. Следовательно, треугольники $AOB$ и $BOC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$. Таким образом, мы свели это условие к первому.

Условие 3: Диагонали являются биссектрисами углов.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, то есть $\angle BAC = \angle DAC$. Так как противолежащие стороны параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$. Из равенств $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DAC$ следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Это снова приводит нас к первому условию.

Ответ: Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий: 1) две его смежные стороны равны; 2) его диагонали взаимно перпендикулярны; 3) его диагональ является биссектрисой его угла.