Номер 68, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

68. На координатной плоскости изобразите четырехугольник $MNPK$, где $M(-1; -2)$, $N(-3; 4)$, $P(6; 7)$, $K(8; 1)$. Докажите, что $MNPK$:

а) параллелограмм;

б) прямоугольник:

Для решения задачи используем методы аналитической геометрии на плоскости. Нам даны координаты вершин четырехугольника: $M(-1; -2)$, $N(-3; 4)$, $P(6; 7)$, $K(8; 1)$.

Чтобы доказать, что четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом, можно использовать один из его признаков. Например, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $MP$ и $NK$ должны совпадать.

Найдем координаты середины диагонали $MP$, обозначим ее точкой $O_1$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_A+x_B}{2}$, $y_O = \frac{y_A+y_B}{2}$.
$x_{O_1} = \frac{x_M + x_P}{2} = \frac{-1 + 6}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{O_1} = \frac{y_M + y_P}{2} = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
Таким образом, середина диагонали $MP$ имеет координаты $O_1(2.5; 2.5)$.

Теперь найдем координаты середины диагонали $NK$, обозначим ее точкой $O_2$.
$x_{O_2} = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{-3 + 8}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{O_2} = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
Середина диагонали $NK$ имеет координаты $O_2(2.5; 2.5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей $MP$ и $NK$ совпадают ($O_1 = O_2$), диагонали четырехугольника $MNPK$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что $MNPK$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что параллелограмм $MNPK$ является прямоугольником, достаточно доказать, что его диагонали равны. Найдем длины диагоналей $MP$ и $NK$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Для удобства будем сравнивать квадраты длин.

Найдем квадрат длины диагонали $MP$:
$|MP|^2 = (x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2 = (6 - (-1))^2 + (7 - (-2))^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$.

Найдем квадрат длины диагонали $NK$:
$|NK|^2 = (x_K - x_N)^2 + (y_K - y_N)^2 = (8 - (-3))^2 + (1 - 4)^2 = 11^2 + (-3)^2 = 121 + 9 = 130$.

Так как $|MP|^2 = |NK|^2 = 130$, то и длины диагоналей равны: $|MP| = |NK| = \sqrt{130}$.

Поскольку $MNPK$ — параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что $MNPK$ является прямоугольником.