Номер 69, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

69. Невозмутимая кошка сидит на середине лестницы (рис. 58). Лестница начинает падать, скользя концами по полу и стене. По какой траектории будет двигаться кошка: а), б), в) или г)?

а) прямая

б) прямая

в) гипербола

г) окружность

Рис. 58

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы стена совпадала с осью OY, а пол — с осью OX. Угол между стеной и полом будет началом координат — точкой O(0, 0).

Пусть длина лестницы — это постоянная величина L. В любой момент времени падения лестница образует прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Обозначим координаты верхнего конца лестницы (на стене) как A(0, y) и нижнего конца (на полу) как B(x, 0).

Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо следующее соотношение, связывающее координаты концов лестницы:

$$x^2 + y^2 = L^2$$

По условию задачи, кошка сидит на середине лестницы. Обозначим координаты кошки как C(x_c, y_c). Координаты середины отрезка AB находятся по формулам:

$$x_c = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$$

$$y_c = \frac{y + 0}{2} = \frac{y}{2}$$

Теперь выразим x и y через координаты кошки x_c и y_c:

$$x = 2x_c$$

$$y = 2y_c$$

Подставим полученные выражения в уравнение теоремы Пифагора:

$$(2x_c)^2 + (2y_c)^2 = L^2$$

$$4x_c^2 + 4y_c^2 = L^2$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$x_c^2 + y_c^2 = \frac{L^2}{4}$$

$$x_c^2 + y_c^2 = \left(\frac{L}{2}\right)^2$$

Это уравнение является каноническим уравнением окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \frac{L}{2}$. Поскольку лестница скользит в первом квадранте (где x и y неотрицательны), траекторией движения кошки будет дуга этой окружности, расположенная между осями координат.

По какой траектории будет двигаться кошка: а), б), в) или г)?

Как показано выше, координаты кошки в любой момент времени удовлетворяют уравнению окружности. Следовательно, кошка будет двигаться по дуге окружности. Этот вариант показан на рисунке г).

Ответ: г).