Номер 65, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

65. Прямоугольник разбили прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника (рис. 57).

а) Зная периметры трех прямоугольников: $P_1 = 8$ см, $P_2 = 14$ см, $P_3 = 24$ см, найдите периметр $P_4$ четвертого прямоугольника.

б) Докажите, что при любых значениях $P_1, P_2, P_3, P_4$ верно равенство $P_{ABCD} = P_1 + P_3 = P_2 + P_4$.

Рис. 57

а) Зная периметры трех прямоугольников: P₁ = 8 см, P₂ = 14 см, P₃ = 24 см, найдите периметр P₄ четвертого прямоугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством периметров прямоугольников, полученных таким разбиением. Это свойство, которое будет строго доказано в пункте б), утверждает, что сумма периметров прямоугольников, расположенных по диагонали, равна сумме периметров двух других прямоугольников: $P_1 + P_3 = P_2 + P_4$.

Из этого равенства выразим искомый периметр $P_4$:

$P_4 = P_1 + P_3 - P_2$

Подставим известные значения в формулу:

$P_1 = 8$ см

$P_2 = 14$ см

$P_3 = 24$ см

Произведем вычисление:

$P_4 = 8 + 24 - 14 = 32 - 14 = 18$ см.

Ответ: $P_4 = 18$ см.

б) Докажите, что при любых значениях P₁, P₂, P₃, P₄ верно равенство P_ABCD = P₁ + P₃ = P₂ + P₄.

Пусть исходный прямоугольник $ABCD$ разбит двумя прямыми, параллельными его сторонам. Обозначим длины отрезков, на которые делятся стороны, как $x_1, x_2$ и $y_1, y_2$. Тогда четыре малых прямоугольника имеют следующие размеры:

• Прямоугольник $P_1$ имеет стороны $x_1$ и $y_1$.
• Прямоугольник $P_2$ имеет стороны $x_2$ и $y_1$.
• Прямоугольник $P_3$ имеет стороны $x_2$ и $y_2$.
• Прямоугольник $P_4$ имеет стороны $x_1$ и $y_2$.

Периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Запишем формулы для периметров всех четырех малых прямоугольников:

$P_1 = 2(x_1 + y_1)$

$P_2 = 2(x_2 + y_1)$

$P_3 = 2(x_2 + y_2)$

$P_4 = 2(x_1 + y_2)$

Рассмотрим сумму периметров $P_1$ и $P_3$:

$P_1 + P_3 = 2(x_1 + y_1) + 2(x_2 + y_2) = 2x_1 + 2y_1 + 2x_2 + 2y_2 = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

Теперь рассмотрим сумму периметров $P_2$ и $P_4$:

$P_2 + P_4 = 2(x_2 + y_1) + 2(x_1 + y_2) = 2x_2 + 2y_1 + 2x_1 + 2y_2 = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

Стороны большого прямоугольника $ABCD$ равны $(x_1 + x_2)$ и $(y_1 + y_2)$. Его периметр $P_{ABCD}$ равен:

$P_{ABCD} = 2((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)) = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что все они тождественно равны:

$P_{ABCD} = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

$P_1 + P_3 = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

$P_2 + P_4 = 2(x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$

Следовательно, доказываемое равенство $P_{ABCD} = P_1 + P_3 = P_2 + P_4$ верно.

Ответ: Равенство доказано.