Номер 60, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

60. Дан прямоугольник $ABCD$ (рис. 55), $AB = 8$ см, разность периметра треугольника $BOC$ и периметра треугольника $COD$ равна $4$ см. Найдите периметр прямоугольника $ABCD$.

Рис. 55

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Точка O является точкой пересечения его диагоналей AC и BD.

Согласно свойствам прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что все четыре отрезка, образованные точкой пересечения, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Периметр треугольника BOC ($P_{BOC}$) вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{BOC} = BO + OC + BC$.

Аналогично, периметр треугольника COD ($P_{COD}$) равен: $P_{COD} = CO + OD + CD$.

По условию задачи, разность периметров этих треугольников равна 4 см. Запишем это в виде уравнения: $P_{BOC} - P_{COD} = 4$.

Подставим в это уравнение выражения для периметров: $(BO + OC + BC) - (CO + OD + CD) = 4$.

Раскроем скобки и упростим выражение. Учитывая, что $BO = DO$, эти слагаемые взаимно уничтожаются: $BO + OC + BC - CO - OD - CD = 4$
$BC - CD = 4$.

Таким образом, разность периметров треугольников BOC и COD равна разности длин их сторон BC и CD.

Из условия нам известно, что сторона $AB = 8$ см. В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = 8$ см. Подставим это значение в полученное уравнение: $BC - 8 = 4$.

Отсюда находим длину стороны BC: $BC = 4 + 8 = 12$ см.

Найдите периметр прямоугольника ABCD

Периметр прямоугольника ABCD ($P_{ABCD}$) равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.

$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)$.

Подставив известные значения сторон $AB = 8$ см и $BC = 12$ см, получим: $P_{ABCD} = 2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Ответ: 40 см.