Номер 59, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

59. У параллелограмма ABCD $AC = BD$, $\angle ACB = 32^\circ$ (рис. 54). Найдите углы 1, 2 и 3 и в ответе запишите их сумму.

Рис. 54

По условию, ABCD — параллелограмм, у которого диагонали равны ($AC = BD$). Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Это означает, что все внутренние углы фигуры ABCD равны по $90^\circ$. Также диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения O делятся пополам, из чего следует, что $AO = OC = BO = OD$.

Угол 1

Угол 1 на рисунке обозначен как $\angle DBC$. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Так как $BO = OC$ (половины равных диагоналей), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 32^\circ$, что соответствует углу $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC$, который является углом 1, также равен $32^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 32^\circ$.

Угол 2

Угол 2 на рисунке обозначен как $\angle AOB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, поскольку $AO = BO$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $\angle ABC$ прямоугольника равен $90^\circ$. Этот угол можно представить как сумму двух углов: $\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC$. Мы уже определили, что $\angle OBC = \angle 1 = 32^\circ$. Тогда $\angle OBA = \angle ABC - \angle OBC = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$. Поскольку $\triangle AOB$ равнобедренный, то $\angle OAB = \angle OBA = 58^\circ$. Сумма углов в треугольнике $\triangle AOB$ равна $180^\circ$. Угол 2 ($\angle AOB$) можно найти как: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 64^\circ$.

Угол 3

Угол 3 на рисунке обозначен как $\angle CAD$. Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны, поэтому $\angle CAD = \angle ACB$. Так как $\angle ACB = 32^\circ$, то и угол 3 ($\angle CAD$) равен $32^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 32^\circ$.

Сумма углов

В задаче требуется найти сумму углов 1, 2 и 3. Сложим полученные значения:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 32^\circ + 64^\circ + 32^\circ = 128^\circ$.

Ответ: $128^\circ$.